行政处罚催告通知书的下发时间，通常是在行政处罚决定书送达当事人后，且当事人在规定的履行期限内（一般为15日）未履行义务，同时未提出行政复议或行政诉讼的情况下，执法机关随后会下达催告通知书。以下是对此问题的详细分析：
一、下发时间的法律依据与规定
《中华人民共和国行政强制法》第三十五条：明确规定行政机关在作出强制执行决定前，应当事先以书面形式催告当事人履行义务，并载明履行义务的期限、方式以及当事人享有的陈述权和申辩权。这表明，催告通知书是行政机关在采取强制执行措施前的一个必要步骤。
履行期限与催告期限：
二、下发时间的实际操作与注意事项
严格遵守法定程序：行政机关在下达催告通知书时，必须严格按照法律规定的程序和时限进行，确保催告书的合法性和有效性。这包括催告书的格式、内容、送达方式等都必须符合法律要求。
当事人应积极履行义务：当事人收到催告书后，应认真对待并积极履行义务，以避免可能的法律后果。如果当事人对催告书有异议或需要进一步的法律帮助，应及时咨询专业律师或寻求法律援助。
催告后的法律后果：若当事人在催告期内仍未履行义务，行政机关可依法进一步采取措施，包括申请强制执行。此时，当事人可能面临更严重的法律后果，如被强制执行、承担额外的执行费用等。
三、特殊情况下的处理
当事人提出行政复议或行政诉讼：如果当事人在行政处罚决定书送达后提出了行政复议或行政诉讼，那么催告通知书的下发时间将会受到影响。在这种情况下，行政机关需要等待复议或诉讼结果出来后，再根据情况决定是否下发催告通知书。
紧急情况下的处理：虽然法律没有明确规定在紧急情况下可以缩短催告期限或省略催告程序，但在实际操作中，如果情况紧急且需要立即采取强制执行措施以防止危害发生或扩大，行政机关可能会根据具体情况作出相应处理。不过，这种情况下的处理必须严格遵守法律原则和精神，确保不侵犯当事人的合法权益。
建议：如果您作为当事人收到了行政处罚决定书，请务必认真对待并按照规定期限履行义务。如果您对处罚决定有异议或需要进一步的法律帮助，请及时咨询我，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。