您好，针对您开车把路边树干撞断了的情况，为了将损失降到最小，我建议您按照以下步骤来处理：

首先，立即停车并保护现场。这是非常重要的，因为保护现场有助于交警部门准确认定事故责任。如果事故中有人员受伤，应立即拨打120急救电话；在您描述的情况中，若无人受伤，则无需拨打急救电话，但仍需确保现场安全，避免二次事故的发生。

接着，及时向交警部门报案。交警会到现场进行勘查，并出具事故责任认定书，这是后续处理事故和理赔的重要依据。

然后，联系您的保险公司。向保险公司说明事故情况，并启动理赔程序。保险公司会安排定损员到现场评估损失，包括车辆的损失以及需要赔偿给市政管理部门的树木损失。

关于树木的赔偿，马路边的树属于公共财物，通常归市政管理部门所有。因此，您需要对被撞断的树木进行赔偿。赔偿金额会根据树木的种类、规格等因素来确定。如果您购买了相应的车辆保险，并且保险责任范围内包括了此类事故，那么保险责任范围内的费用将由保险公司承担；超出保险责任范围的部分，则需要您自行承担。

如果您认为市政管理部门提出的赔偿金额过高，可以通过合法途径进行协商或申请第三方评估，但不能拒绝履行赔偿义务。否则，您可能会面临法律诉讼，这不仅会增加您的经济损失，还可能影响您的个人信用。

总的来说，处理这类事故的关键在于及时报案、保护现场、联系保险公司并积极配合处理赔偿事宜。希望这些建议能对您有所帮助，如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。