针对您提出的“教练车跨辖区从事运载学员往返培训是否合法，以及如违法执法部门如何处理”的问题，以下是我的详细解答：
一、教练车跨辖区从事运载学员往返培训是否合法
教练车跨辖区从事运载学员往返培训的行为，通常是不合法的。根据交通运输管理部门的相关规定，驾校教练车应在行政许可核定的教学场地和线路内进行训练，以确保教学安全和质量。跨辖区从事培训活动，往往意味着未在备案的场地进行教学，这存在较大的安全隐患，并可能违反相关管理规定。
二、如违法，执法部门如何处理
当执法部门发现教练车跨辖区从事运载学员往返培训的违法行为时，通常会采取以下措施：
责令停止教学：执法人员会立即要求教练员停止违规教学活动，确保学员和车辆的安全。
取证调查：执法人员会对教练员和学员进行取证，了解违规教学的具体情况，包括时间、地点、参与人员等。
约谈驾校负责人：执法部门会约谈涉事驾校的负责人，指出其违规行为，并要求其立即整改。
下达整改通知书：执法部门会向驾校下达《责令改正违法行为通知书》，明确要求其停止违规行为，并按照核定场地和线路进行训练。
暂扣车辆或处罚：对于情节严重的违规行为，执法部门可能会依法暂扣涉事教练车，并根据相关法律法规对驾校或教练员进行处罚。
持续巡查与打击：执法部门会持续对驾校训练场地和考试路段进行巡查，严厉查处驾培行业违规经营和培训行为，以维护驾培市场秩序。
三、实际案例参考
以湘潭市和英德市为例，两地交通运输综合行政执法部门均开展了驾培行业违规经营和培训行为的整治行动。在行动中，执法人员查处了多起教练车未在备案场地进行教学或跨辖区从事培训的违法行为，并依法对涉事驾校和教练员进行了处理。
四、建议与提醒
为了保障学员的合法权益和教学安全，建议您在选择驾校时务必核实其合法经营资质，并选择在备案场地内使用合规教练车进行培训。同时，在报名和学习过程中要注意留存相关凭证，以便在发生纠纷时维护自己的权益。
综上所述，教练车跨辖区从事运载学员往返培训的行为通常是不合法的，执法部门会依法进行查处和处理。希望以上解答能够对您有所帮助。