一月工作240小时无加班工资是不合法的。以下是对此问题的详细分析：
一、法律规定
根据《中华人民共和国劳动法》第四十四条的规定，用人单位在安排劳动者延长工作时间、休息日安排工作又不能安排补休、法定休假日安排工作时，应当按照下列标准支付高于劳动者正常工作时间工资的工资报酬：
- 安排劳动者延长工作时间的，支付不低于工资的百分之一百五十的工资报酬；
- 休息日安排劳动者工作又不能安排补休的，支付不低于工资的百分之二百的工资报酬；
- 法定休假日安排劳动者工作的，支付不低于工资的百分之三百的工资报酬。
二、加班时间的计算与加班费的支付
加班时间的计算：
- 一个月通常按21.75天计算工作日（根据《关于职工全年月平均工作时间和工资折算问题的通知》）。
- 假设每天工作8小时，那么一个月的标准工作时间为21.75天 × 8小时/天 = 174小时。
- 若一月工作240小时，则超出标准工作时间66小时，这66小时应视为加班时间。
加班费的支付：
- 对于这66小时的加班时间，用人单位应按照《劳动法》第四十四条的规定支付加班费。
- 如果这66小时全部是工作日延长工作时间，那么应支付不低于工资的百分之一百五十的工资报酬；
- 如果包含休息日或法定休假日的工作时间，则应按照更高的标准支付加班费。
三、月薪制与加班费的关系
实行月薪制的劳动者，在完成计件定额任务后，由用人单位安排其在法定标准工作时间以外延长工作时间的，也应按上述规定的原则支付加班加点工资。月薪制并不意味着劳动者可以无限制地加班而不获得加班费。无论采用何种工资支付方式，只要劳动者在法定工作时间外提供了劳动，用人单位就应当支付加班费。
四、法律建议
与用人单位协商：
- 首先，可以尝试与用人单位协商，要求其支付应得的加班费。
向劳动监察部门投诉：
- 如果协商无果，可以向当地的劳动监察部门投诉，要求其介入调查并处理。
申请劳动仲裁：
- 如果对劳动监察部门的处理结果不满意，还可以向劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
结论：一月工作240小时而无加班工资是不合法的。用人单位必须依法支付加班费，不得以任何理由或方式克扣或拖欠。如果您遇到此类问题，可以直接向我咨询，我会为您提供专业的法律帮助。