劳动监察部门确实有权受理涉及经济补偿金的投诉，并依据相关法律法规对用人单位的违法行为进行调查处理。以下是对此问题的详细解答：

一、法律依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在特定情形下应当向劳动者支付经济补偿金。这些情形包括但不限于：

1. 劳动者依照本法第三十八条规定解除劳动合同的（如用人单位未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等）；
2. 用人单位依照本法第三十六条规定向劳动者提出解除劳动合同并与劳动者协商一致解除劳动合同的；
3. 用人单位依照本法第四十条规定解除劳动合同的（如劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的等）；
4. 其他符合法律规定的情形，如企业重整、生产经营发生严重困难等需要裁减人员而解除劳动合同的。

二、劳动监察部门的职责

劳动监察部门作为劳动行政部门，对用人单位遵守劳动法律法规情况进行监督检查，并处理违法行为。其职责明确包括监督用人单位是否依法支付经济补偿金等。当劳动者认为用人单位存在应当支付经济补偿金却未支付的违法情形时，可以向劳动监察部门投诉。

三、劳动监察部门的处理流程

1. 受理投诉：劳动监察部门在接到劳动者的投诉后，会依法进行登记并受理。
2. 调查核实：劳动监察部门会依法对用人单位的用工情况进行调查核实，特别是关于经济补偿金的支付情况。
3. 责令改正：若经调查确认用人单位存在未依法支付经济补偿金的违法行为，劳动监察部门会责令用人单位改正，并要求其依法支付经济补偿金等相关费用。
4. 进一步措施：若用人单位在规定期限内仍未支付，劳动监察部门还可以采取进一步的措施，如下达行政处理决定，甚至责令用人单位按应付金额一定比例向劳动者加付赔偿金。

四、其他维权途径

虽然劳动监察部门在受理经济补偿金问题方面发挥着重要作用，但对于一些复杂的经济补偿金纠纷，如双方对支付条件、计算方式等存在争议的情况，劳动监察部门可能只能进行调解或督促双方协商解决，而无法直接作出裁决。此时，劳动者可以通过劳动仲裁途径来主张自己的权益。劳动仲裁程序更侧重于居中裁判双方的劳动争议，并且作出的裁决具有更强的法律强制执行力。

五、建议

劳动者在维权过程中应了解多种维权途径，并根据具体情况合理选择。同时，准备好相关证明材料以配合调查，也是确保自身权益得到有效维护的重要环节。如果经过劳动监察部门处理后，用人单位仍未支付经济补偿金，劳动者可以向劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。