私下抱养孩子的刑事案件报警后，一般情况下不可以随意撤销，但存在特定情形时可能不予追究或撤销案件。以下从不同角度进行详细分析：

一、私下抱养孩子的法律性质

私下抱养孩子，若未经过合法的收养登记程序，是违反法律规定的。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，收养应当向县级以上人民政府民政部门登记，收养关系自登记之日起成立。未经合法登记的收养行为，不具有法律效力，且可能涉及违法犯罪。特别是如果收养的是被拐卖的儿童，还可能构成收买被拐卖的儿童罪，需要追究刑事责任。

二、报警后的处理流程

1. 立案阶段：

   • 公安机关在接到报警后，会进行初步调查，判断是否存在犯罪事实。
   • 如果认为存在犯罪事实且需要追究刑事责任，会予以立案。

2. 侦查阶段：

   • 立案后，公安机关会展开侦查工作，收集证据，查明事实。
   • 在此过程中，如果发现案件存在不应当追究刑事责任的情形（如情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪；犯罪已过追诉时效期限；经特赦令免除刑罚；依照刑法告诉才处理的犯罪，没有告诉或者撤回告诉；犯罪嫌疑人、被告人死亡；其他法律规定免予追究刑事责任的），可以撤销案件。

3. 审查起诉阶段：

   • 侦查终结后，公安机关会将案件移送人民检察院审查起诉。
   • 人民检察院在审查过程中，如果认为案件不符合起诉条件（如犯罪情节轻微，依照刑法规定不需要判处刑罚或者免除刑罚；证据不足，不能认定被告人有罪；犯罪已过追诉时效期限；经特赦令免除刑罚；依照刑法告诉才处理的犯罪，没有告诉或者撤回告诉；犯罪嫌疑人、被告人死亡；其他法律规定免予追究刑事责任的），可以作出不起诉决定。

三、可能撤销案件的情形

1. 情节显著轻微，危害不大：

   • 如果私下抱养孩子的行为情节显著轻微，且没有造成严重后果，可能不被认为是犯罪行为，从而撤销案件。

2. 证据不足：

   • 如果在侦查过程中，无法收集到足够的证据证明存在犯罪行为，或者证据存在矛盾、无法排除合理怀疑，可能导致案件撤销。

3. 其他法定不追究刑事责任的情形：

   • 如犯罪已过追诉时效期限、经特赦令免除刑罚、依照刑法告诉才处理的犯罪没有告诉或者撤回告诉、犯罪嫌疑人或被告人死亡等。

四、法律建议

1. 遵守法律规定：

   • 私下抱养孩子是违法的，应当严格遵守相关法律法规，进行合法的收养登记。

2. 积极配合调查：

   • 如果已经报警且案件正在处理中，应当积极配合公安机关的调查工作，如实陈述事实，提供相关证据。

3. 寻求法律帮助：

   • 如果对案件处理有疑问或需要法律帮助，可以及时向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见。

总结来看，私下抱养孩子的刑事案件报警后，一般情况下不可以随意撤销。但存在特定情形时，如情节显著轻微、证据不足或其他法定不追究刑事责任的情形，可能不予追究或撤销案件。因此，建议严格遵守法律规定，避免涉及违法犯罪行为。如有任何疑问或需要法律帮助，请直接向我咨询。