结论：原单位是否需要赔偿，取决于员工未续签合同后继续上班期间，原单位是否及时提出续签要求以及员工拒绝续签的具体情况。若原单位未及时提出续签且员工无过错，则原单位可能需要支付经济补偿；若员工拒绝续签或存在过错，则原单位可能无需赔偿。

分析：

1. 合同到期未续签的法律后果：

   • 根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同到期后，若用人单位未与劳动者续签劳动合同，但劳动者继续在用人单位工作的，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。然而，这种继续履行并不意味着原劳动合同自动续期，而是形成了一种事实上的劳动关系。
   • 在此情况下，若用人单位未及时与劳动者续签书面劳动合同，且超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。但这一规定主要针对的是用人单位未履行续签义务且未支付双倍工资的情况，并不直接涉及赔偿问题。

2. 员工继续上班后的法律关系：

   • 员工在合同到期后继续上班，表明其愿意继续为原单位提供劳动。此时，若原单位未明确表示拒绝续签或未提出续签条件，则双方的事实劳动关系继续存在。
   • 若原单位希望与员工续签劳动合同，但员工拒绝续签并选择去其他单位工作，则原单位无需承担赔偿责任。因为在此情况下，员工是主动终止事实劳动关系的。

3. 原单位是否需要赔偿的判定：

   • 若原单位未及时提出续签要求：且员工在合同到期后继续上班期间无过错（如未违反公司规章制度、未给公司造成损失等），则当员工选择去其他单位工作时，原单位可能因未履行续签义务而需要支付一定的经济补偿。但这种补偿并非严格意义上的“赔偿”，而是基于未签订书面劳动合同而可能产生的双倍工资差额或经济补偿金（具体取决于地方规定和实际情况）。
   • 若员工拒绝续签或存在过错：如员工在合同到期后明确表示不愿续签、或员工在继续上班期间违反公司规章制度、给公司造成损失等，则原单位无需承担赔偿责任。因为在此情况下，员工是主动或因自身过错而终止劳动关系的。

4. 实际操作建议：

   • 对于原单位而言，若希望与员工继续合作，应及时提出续签要求并明确续签条件，以避免因未续签而产生的法律风险。
   • 对于员工而言，若合同到期后希望继续留在原单位工作，也应主动与原单位沟通续签事宜；若选择去其他单位工作，则应确保与原单位的事实劳动关系已妥善处理（如办理离职手续等）。

总结：原单位是否需要赔偿取决于多种因素，包括是否及时提出续签要求、员工是否拒绝续签或存在过错等。因此，在处理此类问题时，建议双方均保持谨慎态度，并尽可能通过协商或法律途径解决争议。如有具体法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。