当多名原告中的一方不认可法院的判决时，该方原告有权采取法律措施来维护自己的权益。具体来说，可以按照以下步骤处理：

首先，了解上诉权利： 根据《民事诉讼法》的相关规定，当事人（包括原告）如果不服地方人民法院的第一审判决，有权在判决书送达之日起十五日内向上一级人民法院提起上诉。这是法律赋予当事人的一项重要权利，用于纠正可能存在的判决错误。

其次，准备上诉状： 如果决定上诉，需要准备一份上诉状。上诉状中应明确指出对原审判决的不满之处，比如认定事实错误、适用法律不当或违反法定程序等问题，并阐明上诉请求及理由。这是上诉过程中的关键文件，需要仔细撰写，确保内容准确、清晰。

接着，提交上诉状： 上诉状准备好后，需要向上一级人民法院提交。可以选择直接向第二审人民法院上诉，此时第二审人民法院应当在五日内将上诉状移交原审人民法院；或者也可以选择通过原审人民法院提交上诉状，由原审人民法院转交上一级人民法院。

然后，等待法院审查： 法院收到上诉状后，会进行审查。如果符合上诉条件，法院会受理上诉，并可能安排开庭审理。在二审过程中，法院会重新审查案件事实、适用法律和程序问题，以判断原审判决是否存在错误。

最后，接受二审结果： 二审法院经过审理后，会作出判决。如果发现原判决确实存在错误，二审法院会依法对原判决进行改判、撤销或者变更；如果认为原判决没有错误，则会驳回上诉，维持原来的判决。无论结果如何，当事人都需要接受并遵守二审法院的判决。

在整个过程中，特别需要注意的是上诉期限。对于民事判决，上诉期是从判决书送达那天开始算十五天，一定要留意这个时间，避免错过上诉机会。

综上所述，当多名原告中的一方不认可法院的判决时，可以通过上诉来维护自己的权益。在上诉过程中，需要仔细准备上诉状、及时提交并等待法院审查，最终接受二审结果。