结论前置：

1. 若相关单位对井盖未关存在过错，且该过错与狗狗掉入井中存在因果关系，则相关单位可能需要负责。
2. 若相关单位无过错，或过错与狗狗掉入井中无因果关系，则相关单位不负责。

法律分析：

在侵权损害（动物侵权）的语境下，我们首先要明确的是，动物本身并不具备法律上的责任能力，因此，当讨论“相关不能负责吗”这一问题时，我们实际上是在探讨井盖的管理者或所有者是否因其管理不善或疏忽导致狗狗掉入井中，进而是否应承担相应的法律责任。

一、相关单位可能负责的情况：

根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。在此案例中，若绿化带井盖的管理者或所有者（如市政部门、物业公司等）未尽到管理职责，导致井盖未关，且该未关状态与狗狗掉入井中存在直接的因果关系，那么相关单位就可能因过错而承担侵权责任。

具体来说，需要证明以下几点：

1. 相关单位对井盖有管理职责：即井盖属于相关单位的管辖范围，相关单位有义务确保其安全。
2. 相关单位存在过错：即相关单位未尽到管理职责，如未定期检查井盖状态、未及时修复损坏的井盖等。
3. 过错与损害结果存在因果关系：即狗狗掉入井中是由于井盖未关这一过错行为直接导致的。

二、相关单位不负责的情况：

若相关单位能够证明其对井盖已尽到管理职责，或者狗狗掉入井中并非由于井盖未关这一过错行为导致的，那么相关单位就不承担侵权责任。例如：

1. 相关单位无过错：如井盖是被第三方故意破坏或打开，且相关单位在得知后已及时采取措施。
2. 过错与损害结果无因果关系：如狗狗掉入井中是由于主人疏忽看管，未给狗狗佩戴牵引绳，导致狗狗自行跑入绿化带并掉入井中。

建议与后续行动：

1. 收集证据：若您认为相关单位应负责，建议首先收集相关证据，如现场照片、视频、目击者证言等，以证明相关单位存在过错且该过错与狗狗掉入井中存在因果关系。
2. 协商解决：在收集到足够证据后，可以尝试与相关单位进行协商，看是否能够达成和解并获得相应的赔偿。
3. 法律途径：若协商无果，您可以考虑通过法律途径维护自己的权益，如向法院提起诉讼。

在处理此类问题时，建议您保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。若您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。