结论：财政行政处罚终止后，原则上不能隔5年再继续处理，但存在特殊例外情形。

1. 一般原则：行政处罚的时效性
   根据《中华人民共和国行政处罚法》第三十六条，违法行为在二年内未被发现的，不再给予行政处罚；涉及公民生命健康安全、金融安全且有危害后果的，上述期限延长至五年。时效期间自违法行为发生之日起计算；违法行为有连续或者继续状态的，自行为终了之日起计算。
   若财政行政处罚已依法终止（如处罚决定被撤销、执行完毕或超过法定时效），且无新证据证明违法行为在时效期内持续或重新发生，则行政机关不得在5年后重新启动处罚程序。

2. 例外情形：新证据或持续违法行为

   • 新证据发现：若在处罚终止后5年内，行政机关发现原违法行为存在未被查实的证据（如隐瞒的财务记录、第三方举报等），且该证据能证明违法行为在法定时效期内持续存在，则可重新立案。
     
   • 违法行为持续：若原违法行为具有连续性（如长期虚报财政数据、持续挪用资金），且在5年内仍有新行为发生，则时效从最后一次行为终了之日起计算，行政机关可依法处罚。
     
   • 法律修订或政策调整：若处罚终止后相关法律修订，明确对历史违法行为追溯处罚（需法律明确授权），则可能突破时效限制，但此类情形极少见。

3. 程序合法性要求
   即使存在例外情形，行政机关重新启动处罚程序也需严格遵守法定程序：

   • 重新立案需有合法依据（如新证据、持续行为证明）；
     
   • 需告知当事人陈述、申辩权利；
     
   • 处罚决定需符合法定种类和幅度。
     若程序违法，当事人可依法申请行政复议或提起行政诉讼。

建议：若您面临财政行政处罚终止后被重新处理的情况，需重点核查：

• 原处罚终止的法律依据及程序是否合法；
  
• 行政机关重新立案的证据是否充分、时效计算是否正确；
  
• 重新处罚的程序是否合规。
  如有疑问，可直接向我提供具体案情，我将进一步分析。