在案外人起诉申请执行人的情况下，申请执行人请律师应诉的费用承担问题，需结合案件具体情况、双方约定以及相关法律规定来综合判断。以下是对此问题的详细分析：

一、一般原则：谁委托谁承担

在大多数情况下，律师费用的承担遵循“谁委托谁承担”的原则。即，如果申请执行人委托了律师进行应诉，那么通常情况下，律师费用应由申请执行人自行承担。这是因为律师服务是申请执行人为了维护自身权益而主动寻求的专业帮助，其费用自然应由寻求帮助的一方承担。

二、特殊情况：合同约定或法律规定

1. 合同约定：如果申请执行人与案外人之间的合同或其他法律文件中明确约定了律师费用的承担方式，那么应按照合同约定来执行。例如，合同中可能规定，在发生争议时，败诉方应承担胜诉方的律师费用。在这种情况下，如果申请执行人胜诉，且合同中有此类约定，那么案外人可能需要承担申请执行人的律师费用。

2. 法律规定：在某些特定情况下，法律可能规定败诉方应承担胜诉方的律师费用。然而，这种情况相对较少见，且通常限于特定的法律领域或案件类型。例如，在某些知识产权侵权案件中，法律可能规定败诉方应承担胜诉方的合理律师费用。但需要注意的是，这种规定并不普遍适用于所有类型的案件。

三、司法实践中的考量因素

在实际司法过程中，法院在确定律师费用承担主体时，会综合考虑多种因素，包括但不限于：

• 案件的具体情况：如案件的复杂程度、争议焦点、证据充分性等。
• 双方的约定：如合同中是否有关于律师费用承担的条款。
• 相关法律规定：如特定法律领域或案件类型中是否有关于律师费用承担的规定。
• 公平与合理原则：法院会考虑双方的经济状况、诉讼行为等因素，以判断由哪一方承担律师费用更为公平合理。

四、建议与注意事项

1. 明确约定：为了避免后续在律师费用承担上产生纠纷，建议在签订合同或其他法律文件时，就律师费用的承担问题进行明确约定。

2. 保留证据：在诉讼过程中，申请执行人应妥善保留与律师费用相关的证据，如律师费发票、委托合同等，以便在需要时提供证明。

3. 咨询专业律师：由于律师费用承担问题涉及复杂的法律判断和司法实践，建议在遇到此类问题时咨询专业律师以获取更准确的法律意见。

如有具体法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况和当地法律规定，为您提供专业的法律意见和帮助。