在继承案件到质证阶段后，法庭既可以自行安排调解，也可以根据当事人的申请进行调解，法律并未限定调解的启动方式。以下是对此问题的详细分析：

一、法庭自行安排调解的可能性

1. 调解的普遍性：在民事诉讼中，调解是一种常见的解决纠纷的方式。法院在审理案件过程中，为了促进双方和解，减少诉讼成本，提高诉讼效率，往往会主动提出进行调解。这种调解不依赖于当事人的申请，而是法院根据案件情况和审判需要自行决定的。

2. 质证阶段后的调解：质证阶段是庭审过程中的一个重要环节，主要目的是对双方提交的证据进行质证和辩论。在质证阶段后，如果法院认为案件有调解的可能，或者认为调解更有利于解决纠纷，那么法院可以自行安排调解。

二、当事人提出调解申请的情况

1. 当事人的权利：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人有权在诉讼过程中提出调解申请。如果当事人认为通过调解可以更好地解决纠纷，那么他们可以向法院提出调解申请。

2. 调解申请的提出时机：当事人可以在诉讼的任何阶段提出调解申请，包括质证阶段后。一旦当事人提出调解申请，法院应当考虑并安排调解。

三、调解的目的和结果

1. 调解的目的：无论是法庭自行安排调解还是当事人提出调解申请，调解的目的都是为了尝试解决双方的矛盾，达成和解。通过调解，双方可以协商确定遗产的分配方案，避免进一步的诉讼程序。

2. 调解的结果：如果经过调解，双方能够达成一致意见，那么就可以制作调解书，结束诉讼程序。调解书具有与判决书同等的法律效力。然而，如果调解无效，即双方无法达成一致意见，那么法院将依法作出判决。

四、法律建议

1. 积极配合调解：如果法庭在质证阶段后提出调解，或者当事人自己提出调解申请，建议双方积极配合调解工作。调解是一种更为灵活、高效的解决纠纷方式，有助于双方达成和解，减少诉讼成本和时间。

2. 准备充分证据：无论是否进行调解，当事人都应当准备充分的证据来支持自己的主张。在质证阶段后，如果调解未能成功，那么证据将成为法院作出判决的重要依据。

3. 尊重法院判决：如果调解未能成功，法院将依法作出判决。当事人应当尊重法院的判决，并按照判决履行自己的义务。如果对判决不服，可以在法定期限内提起上诉。

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