结论：逾期不还时，债权人或催收机构可能会联系紧急联系人，但这一行为受到法律限制，并非可以无限制、持续地进行。
分析：
法律背景：
- 根据《中华人民共和国民法典》及相关规定，债权人在追讨债务时，应当遵循合法、正当、必要的原则，不得侵犯债务人的合法权益，包括其隐私权和名誉权。
- 紧急联系人通常是债务人在借款时提供的，用于在债务人无法联系时，债权人能够通过其找到债务人或了解债务人的情况。但紧急联系人并非债务担保人，其责任仅限于提供信息，不应承担债务人的还款责任。
催收行为限制：
- 债权人或催收机构在联系紧急联系人时，应当明确告知其身份和目的，且不得泄露债务人的个人隐私信息。
- 催收行为应当适度，不得对紧急联系人进行骚扰或威胁。如果紧急联系人明确表示不愿再被联系，或者联系行为已经对其生活造成了严重影响，债权人或催收机构应当停止联系。
可能后果：
- 如果债权人或催收机构违反法律规定，对紧急联系人进行无限制的电话骚扰或其他形式的骚扰，紧急联系人可以向相关部门投诉，甚至通过法律途径维护自己的合法权益。
- 对于债务人而言，逾期不还本身就可能面临法律责任，如被起诉、列入失信被执行人名单等。而债权人或催收机构的不当催收行为，也可能成为债务人维权的一个方面。
建议：
- 如果您作为债务人，面临逾期不还的情况，建议尽快与债权人协商还款计划，以避免不必要的法律纠纷和信用损失。
- 如果您作为紧急联系人，被债权人或催收机构频繁联系且感到困扰，可以明确告知对方不愿再被联系，并保留相关证据以备不时之需。如果对方仍然继续骚扰，您可以考虑向相关部门投诉或寻求法律帮助。
总结：逾期不还时，债权人或催收机构可能会联系紧急联系人，但这一行为必须受到法律限制。作为债务人或紧急联系人，都应当了解自己的权利和义务，并在必要时采取法律手段维护自己的合法权益。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。