结论：房东在通知租客搬走遗留物品后，第二天就把东西丢出去的行为，其合法性需根据具体情况来判断，一般情况下可能不合法，并可能承担相应的赔偿责任。
分析：
租赁期限内的情况：
- 若租赁期限尚未届满，且租客并未违反租赁协议中的任何条款（如未拖欠租金等），房东无权单方面要求租客搬离，更无权擅自处理租客的私人物品。
- 在此情况下，房东的行为构成对租客财产权的侵犯，租客有权要求房东恢复原状或赔偿损失。
租赁期限届满或租客违约的情况：
- 若租赁期限已届满，且租客未按照约定搬离，或者租客存在违约行为（如拖欠租金且经催告后仍未支付），房东有权依照租赁协议的约定解除租赁关系，并要求租客搬离。
- 然而，即使在此情况下，房东也无权擅自处理租客的私人物品。房东应当通过合法途径（如提起诉讼或申请仲裁）来解决争议，并在获得法律授权后，方可对租客的物品进行处置。
- 若房东擅自处理租客的物品，并导致物品遗失或损坏，房东需承担相应的赔偿责任。
通知与合理期限：
- 房东在要求租客搬离时，应当给予租客合理的期限来搬离物品。这个合理期限应当根据具体情况来判断，但通常不应过于短暂，以免给租客造成不必要的困扰。
- 若房东未给予租客合理的搬离期限，或者虽给予了期限但期限过短，导致租客无法及时搬离物品，房东擅自处理物品的行为可能构成违法。
法律建议：
- 对于房东而言，应当严格遵守租赁协议的约定，并在要求租客搬离时给予合理的期限。若租客未按照约定搬离，房东应当通过合法途径来解决争议，避免擅自处理租客的物品。
- 对于租客而言，若遇到房东擅自处理其物品的情况，应当及时保留证据（如照片、视频等），并咨询专业律师以维护自己的合法权益。
可能的法律后果：
- 若房东擅自处理租客的物品，并导致物品遗失或损坏，房东需承担相应的赔偿责任。赔偿金额应当根据物品的实际价值来确定。
- 在严重的情况下，若房东的行为构成对租客财产权的严重侵犯，房东还可能面临刑事指控的风险。
总结：房东在通知租客搬走遗留物品后，第二天就把东西丢出去的行为，其合法性需根据具体情况来判断。一般情况下，房东应当给予租客合理的搬离期限，并通过合法途径来解决争议。若房东擅自处理租客的物品，并导致物品遗失或损坏，房东需承担相应的赔偿责任。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。