结论前置：羁押必要性审查的申请时机贯穿于犯罪嫌疑人、被告人被逮捕后至判决生效前的整个诉讼过程，但具体提出时机需结合案件进展和实际情况综合判断，以确保审查的有效性和合理性。
一、羁押必要性审查的法律依据与程序启动
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十五条的规定，犯罪嫌疑人、被告人被逮捕后，人民检察院有责任对羁押的必要性进行持续审查。若认为不需要继续羁押，人民检察院应建议释放或变更强制措施。这一规定明确了羁押必要性审查的法律基础及程序启动的节点——即逮捕之后至判决生效前的任何时间。
二、不同诉讼阶段的申请要点
羁押初期（24小时内及之后5日内）：
- 申请时机：犯罪嫌疑人被羁押后，应尽快（一般在24小时内）向检察机关提出羁押必要性审查申请，以尽早对羁押的必要性进行审查。若羁押期超过24小时，但根据案件情况，犯罪嫌疑人并不满足继续羁押的必要条件，应在羁押之日起5日内再次或补充向检察机关提出申请。
- 申请目的：防止不必要的羁押，切实保障犯罪嫌疑人的合法权益。
侦查阶段：
- 申请主体：辩护律师、法定代理人、近亲属等。
- 适用情形：发现新情况，如证据变化、犯罪嫌疑人身体状况不适宜羁押等。
- 提交时机：被逮捕后的较短时间内，及时提交以反映最新情况。通常建议在逮捕后的一段时间（如2个月左右，结合案件具体侦查进度）提出，此时侦查工作已有一定进展，是否有继续羁押的必要可能更加明晰。
审查起诉阶段：
- 审查机关：检察院（既是审查起诉机关，也是羁押必要性审查机关）。
- 申请条件：符合不需要继续羁押的情形，如犯罪嫌疑人认罪认罚，或者案件事实基本查清、证据已收集固定，且犯罪嫌疑人符合取保候审或监视居住条件。
- 申请材料：应提供证明上述情形的相关材料，如犯罪嫌疑人的身体状况证明、认罪态度说明、案件进展报告等。
审判阶段：
- 申请对象：审理案件的法院对应的同级检察院。
- 适用场景：出现新证据，可能判处非羁押刑（如缓刑、管制）的情况，或者庭审过程中发现被告人身体出现严重疾病不适宜继续羁押，或者案件审理时间延长但被告人的社会危险性降低等。
- 申请策略：适时提交，确保法院和检察院能充分考虑羁押的必要性。
三、申请羁押必要性审查的要点与建议
- 提供充分证据：在申请羁押必要性审查时，应提供相关证据和材料，以支持审查申请的合理性和合法性。这包括但不限于犯罪嫌疑人的身体状况证明、认罪态度说明、案件进展报告等。
- 关注案件进展：律师在代理案件时，应密切关注案件的进展和羁押必要性审查的时机，及时为当事人提出申请，以最大程度维护当事人的合法权益。
- 持续监督羁押必要性：如果案情复杂或存在特殊情况，导致羁押期限适当延长，应在每延长羁押期限的7日内向检察机关提出羁押必要性审查申请，以持续监督羁押的必要性。
四、特殊情况下的申请
- 案情复杂或特殊情况：如果案情复杂或存在特殊情况，如犯罪嫌疑人患有严重疾病、怀孕或正在哺乳自己的婴儿等，导致羁押期限需要适当延长，此时更应密切关注羁押必要性，及时提出审查申请。
- 监所检察部门的建议：监所检察部门在监所检察工作中发现不需要继续羁押的，可以提出释放犯罪嫌疑人、被告人或者变更强制措施的建议。因此，在申请羁押必要性审查时，也可以考虑向监所检察部门反映情况，寻求其支持。
总结与建议：羁押必要性审查的申请时机需根据案件的具体情况和进展来综合判断。通过合理把握申请时机和提供充分的证据材料，可以有效保障犯罪嫌疑人的合法权益，促进司法公正和效率。如果您或您的亲友面临此类问题，欢迎直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议。