在发生交通事故并撞伤行人，但医院检查显示伤者无大碍的情况下，您可以按照以下详细步骤来妥善处理后续事宜：

一、现场处理与初步沟通

1. 立即停车并设置警示：确保事故现场安全，防止二次事故发生。
2. 查看伤者并拨打急救电话：迅速查看伤者情况，立即拨打120急救电话，并同时拨打122报警电话。
3. 保护事故现场：避免移动车辆或相关物品，除非是为了抢救伤者。同时，记录事故现场信息，包括拍摄照片、视频，以及记录目击者的联系方式。
4. 与伤者沟通：与受害者进行坦诚沟通，表达您的歉意和关心，询问其是否确实无恙，并提供您的联系方式以便后续联系。

二、医院检查与证据保留

1. 陪同伤者检查：积极陪同伤者前往医院进行全面检查，并支付相关费用。
2. 保留证据：保留所有医院检查报告、诊断书、费用清单等证据。这些材料对于后续处理至关重要，能够证明伤者当时的身体状况。
3. 与医生沟通：与医生充分沟通，了解伤者的具体情况，并确保医生在病历上明确记录检查结果和诊断意见。

三、报案与保险理赔

1. 及时报案：向当地交通管理部门或警方报案，提供事故详情和必要证据。
2. 通知保险公司：向自己的保险公司报案，告知事故发生的时间、地点、经过以及人员受伤情况，并提交相关理赔材料。
3. 配合调查：配合保险公司的调查核实工作，如实提供相关信息和证据。

四、协商与签订协议

1. 等待责任认定书：等待交警出具交通事故责任认定书，明确双方在事故中的责任划分。
2. 协商赔偿事宜：根据责任认定书与伤者及其家属进行协商，就赔偿事宜达成一致。虽然检查显示没事，但伤者可能因事故产生了一定的经济损失，如交通费等，可以根据实际情况给予合理的补偿。
3. 签订书面协议：若双方能达成一致，最好签订书面赔偿协议，明确赔偿金额、支付方式、双方权利义务等内容，并要求对方出具收款收据，以避免后续纠纷。

五、应对伤者后续诉求与法律咨询

1. 理性应对后续诉求：若伤者之后又提出身体不适或赔偿要求，要保持理性，要求其提供正规医疗机构的诊断证明和相关费用票据。
2. 法律咨询与权益保护：如遇复杂情况或潜在纠纷，及时咨询专业的法律人士或律师，以获取专业的法律意见和指导，确保自己的合法权益得到保护。

在整个处理过程中，请务必保持诚信和负责任的态度，不要隐瞒或虚报任何情况，以免影响后续处理结果。同时，尊重受害者的权益，积极与其沟通协商，以达成和解。通过以上步骤的妥善处理，您可以有效地解决交通事故所带来的问题，并确保双方的权益得到妥善保障。