核心结论：故意撞人后逃逸致受害者多处皮肤受伤，肇事者需承担刑事责任、民事赔偿责任，受害者应及时就医并保留证据，后续可通过法律途径维权。以下是具体分析：

一、肇事者可能面临的法律责任

1. 刑事责任
   根据《刑法》第133条，交通肇事逃逸构成犯罪的，处3年以上7年以下有期徒刑；若逃逸致人死亡，处7年以上有期徒刑。

   • 若行为人主观上为“故意撞人”（如报复、伤害等），则可能构成故意伤害罪或故意杀人罪（未遂），刑罚更重（故意伤害致人重伤处3-10年，致人死亡处10年以上至死刑）。
     
   • 需结合证据（如监控、证人证言）判断行为人主观意图，若证据充分，可能以更重罪名追究。

2. 民事赔偿责任
   根据《民法典》第1179条，侵害他人造成人身损害的，应赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等合理费用，以及因误工减少的收入。

   • 若造成残疾，还需赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
     
   • 逃逸不影响赔偿义务，受害者可直接向肇事者或其保险公司（如有）主张权利。

二、受害者应采取的措施

1. 立即就医并保留证据

   • 及时到正规医院治疗，保留病历、诊断证明、医疗费发票等材料。
     
   • 若皮肤受伤严重（如大面积擦伤、烧伤），可申请伤情鉴定（司法鉴定机构出具报告），作为后续索赔或刑事追责的依据。

2. 报警并配合调查

   • 立即向公安机关报案，提供事故时间、地点、车辆特征、肇事者外貌等信息。
     
   • 配合警方调取监控、寻找目击证人，固定证据链。

3. 法律维权途径

   • 刑事附带民事诉讼：在检察院提起公诉时，受害者可同时提起民事赔偿请求，无需单独起诉。
     
   • 单独民事诉讼：若刑事案件未立案或赔偿未足额，可向法院起诉肇事者及保险公司（如有），要求赔偿全部损失。

三、关键注意事项

1. 证据收集：皮肤受伤的医疗记录、现场照片、证人联系方式等是维权核心，务必妥善保存。
   
2. 时效限制：民事诉讼时效为3年（自知道权利受损之日起算），逾期可能丧失胜诉权。
   
3. 保险理赔：若肇事车辆投保交强险或商业险，受害者可要求保险公司先行赔付（但逃逸可能影响商业险理赔，需具体分析）。

建议：受害者应优先治疗并报警，后续委托律师协助处理赔偿及刑事追责事宜。如有具体问题（如证据收集、赔偿计算），可直接向我咨询。