同居关系下继子女（这里主要指非婚生子女，因同居关系中一般不涉及法律意义上的继子女，但为贴合用户提问语境，我们主要讨论非婚生子女的抚养问题）的抚养，主要依据《中华人民共和国民法典》及相关司法解释，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，父母双方均负有抚养义务。以下是对此问题的详细解答：
一、非婚生子女的法律地位与权利
根据《民法典》第一千零七十一条，非婚生子女与婚生子女在法律上享有同等的地位和权利，包括受抚养权、受教育权等。这意味着，无论父母是否结婚，只要子女出生，就享有被父母抚养和教育的权利，任何组织或个人都不得加以危害和歧视。
二、抚养权的确定原则
不满两周岁的子女：原则上由母亲直接抚养。但如果母亲存在不适宜抚养的情形，如患有严重疾病、无力抚养等，或者母亲同意由父亲抚养的，可由父亲抚养。
已满两周岁的子女：父母双方应首先协商确定抚养权归属。协商不成的，法院将综合考虑双方的抚养能力、条件以及子女的最佳利益，作出判决。具体来说，法院会考虑父母的收入状况、居住条件、教育背景、与子女的感情联系等因素。
八周岁以上的子女：在确定抚养权时，应尊重其真实意愿。如果子女明确表示愿意随某一方生活，且该方具有抚养能力，法院一般会予以支持。
三、抚养费的支付
支付责任：不直接抚养非婚生子女的生父或生母，需负担未成年子女或不能独立生活的成年子女的抚养费。这是父母的法定义务，不得以任何理由拒绝履行。
数额确定：抚养费的数额应根据子女的实际需要、父母的负担能力及当地生活水平来确定。有固定收入的，一般按月总收入的20%至30%给付；负担两个以上子女的，比例可适当提高，但不得超过月总收入的50%。无固定收入的，则依据当年总收入或同行业平均收入参照上述比例确定。特殊情况下，如子女长期患病或残疾，可适当调整比例。
支付方式：抚养费应定期给付，有条件的可以一次性给付。如果子女年满十六周岁且以劳动收入为主要生活来源，并能维持当地一般生活水平，父母可停止给付抚养费。
四、抚养权的变更
若出现以下情形之一，父母一方有权要求变更子女抚养关系，并需经过法院审理和判决：
五、法律救济途径
诉讼解决：若同居双方就子女抚养问题无法达成协议，可向人民法院提起诉讼，由法院根据具体情况作出判决。在诉讼过程中，双方应提供充分的证据证明自己的抚养能力和条件，以及子女的最佳利益。
强制执行：若一方未按照判决或协议支付抚养费，另一方可向法院申请强制执行，以确保子女的合法权益得到切实维护。法院有权采取多种强制执行措施，如查封、扣押、拍卖财产等。
总结与建议：
同居关系下生育的子女在抚养问题上享有与婚生子女同等的法律地位和权利保障。双方应本着对子女负责的态度，妥善处理抚养问题，确保子女的健康成长和合法权益不受侵害。如果双方在抚养问题上存在争议，建议及时咨询专业律师，通过法律途径解决纠纷。作为梁升律师，我擅长处理婚姻家庭领域的法律问题，如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。