当车辆发生事故且双方各执一词、存在争议时，您可以按照以下步骤来处理，以确保问题得到公正、合理的解决：

一、立即停车并保护现场

事故发生后，双方应立即停车，并开启危险报警闪光灯，以警示其他车辆。同时，在来车方向设置警告标志，如反光三角牌等，以扩大示警距离，防止二次事故的发生。如果事故现场存在安全隐患，如车辆漏油、起火等，应迅速采取措施消除隐患，必要时迅速报警。

二、报警并等待交警处理

在保护好现场后，应立即拨打122（或当地交警部门的报警电话）报警。交警会迅速赶到现场进行勘查，收集证据，包括拍照、绘制现场图、询问当事人等。在这个过程中，双方需要如实向交警陈述事故经过，提供真实、准确的信息，以便交警能够准确判断事故责任。

三、查看保险条款

在等待交警处理的过程中，双方可以查看各自车辆所投的保险种类及保险责任范围。这有助于了解在事故发生后，保险公司将承担哪些赔偿责任，以及赔偿的限额等。同时，也可以为后续的协商赔偿事宜提供参考。

四、协商赔偿事宜

在交警的主持下，双方可以就赔偿责任、赔偿方式及金额进行协商。协商时，应依据事故责任划分及实际损失情况来进行。如果双方能够达成一致意见，可以签订书面协议，明确各自的权利和义务。

五、申请调解

如果协商不成，任何一方都可以向公安机关交通管理部门申请调解。调解期限一般为10日。在调解过程中，调解员会听取双方的陈述和意见，根据事实和法律进行调解。如果经调解达成协议，公安机关交通管理部门会制作调解书送交各方当事人，调解书具有法律效力。

六、提起民事诉讼

如果调解未成功，或者双方对调解结果不满意，当事人可以向人民法院提起民事诉讼。通过诉讼解决纠纷时，需要提供相关证据，如事故责任认定书、损失清单、医疗费用票据等。法院会依据事实和法律作出判决，判决结果具有强制执行力。

在整个处理过程中，建议您保持冷静和理性，避免情绪化的行为。同时，也要注意保护自己的合法权益，不要轻易放弃自己的权利或承担不应承担的责任。如果遇到复杂或难以处理的情况，可以寻求专业律师的帮助。