核心结论：两个姐妹中一个要扶养母亲并继承家业，需通过合法有效的遗嘱或法定继承程序，并办理相关手续以确保合法性。以下是具体分析：

1. 若母亲健在且意识清醒

• 遗嘱继承优先：母亲可通过立遗嘱明确指定由其中一个女儿扶养并继承家业。遗嘱形式需合法（自书遗嘱、代书遗嘱、公证遗嘱等），建议公证以增强效力。
• 附义务遗嘱：母亲可在遗嘱中附加条件，例如要求继承家业的女儿承担扶养义务（如支付赡养费、提供生活照料等）。若女儿未履行义务，其他继承人可要求撤销其继承权。
• 手续：
  1. 母亲立遗嘱（建议公证）；
  2. 遗嘱生效后，继承人持遗嘱、死亡证明、亲属关系证明等材料到公证处办理继承权公证；
  3. 凭公证书到不动产登记中心、银行等机构办理财产过户。

2. 若母亲未立遗嘱或遗嘱无效

• 法定继承程序：按《民法典》规定，子女为第一顺序继承人，通常平均分配遗产。若需由一个女儿继承全部家业，需其他继承人（如另一女儿）书面放弃继承权。
• 扶养协议：母亲可与一个女儿签订《遗赠扶养协议》，约定由该女儿负责扶养（如生活照料、医疗护理等），母亲去世后将家业遗赠给她。协议需公证，且扶养人需实际履行义务。
• 手续：
  1. 其他继承人签署《放弃继承权声明书》并公证；
  2. 或签订《遗赠扶养协议》并公证；
  3. 办理继承权公证及财产过户。

3. 关键注意事项

• 扶养义务的履行：若通过遗嘱或协议约定扶养义务，需保留履行证据（如转账记录、医疗票据、照料记录等），以防其他继承人质疑。
• 财产范围明确：遗嘱或协议中需清晰列明家业的具体范围（如房产地址、股权比例等），避免争议。
• 协商优先：姐妹间可协商达成一致，签订书面协议并公证，减少后续纠纷。

4. 若发生争议

• 可通过调解、诉讼解决。法院会综合考虑遗嘱效力、扶养义务履行情况、继承人经济状况等因素判决。

建议：根据家庭情况选择遗嘱、遗赠扶养协议或放弃继承声明，并务必公证以增强法律效力。如有复杂财产或家庭关系，可进一步提供细节，我将为您定制方案。