核心前提：婆婆去世后，其名下银行存款的分配问题，涉及遗产继承法律关系。
结论前置：

1. 若婆婆留有有效遗嘱：银行存款按遗嘱内容分配，遗嘱指定继承人直接继承，其他法定继承人无权干涉。
   
2. 若婆婆未留遗嘱：银行存款按法定继承顺序分配，第一顺序继承人为配偶、子女、父母，原则上均分；若无第一顺序继承人，由第二顺序继承人（兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）继承。
   

详细分析：

一、遗嘱继承优先

若婆婆生前立有合法有效的遗嘱（如自书遗嘱、公证遗嘱等），明确指定银行存款的继承人，则按遗嘱执行。例如，遗嘱写明“存款由长子继承”，则其他子女无权要求分配。
注意：遗嘱需符合法定形式（如公证、自书需签名并注明年月日），否则可能被认定无效。

二、法定继承规则

若婆婆未留遗嘱，或遗嘱无效，则按《民法典》第1127条规定的法定继承顺序分配：

1. 第一顺序继承人：配偶、子女、父母。
   
   • 例如，婆婆去世时，其配偶（公公）、子女（如儿子、女儿）均健在，则存款由他们均分；若部分继承人放弃继承，需书面声明。
     
   • 特殊情形：若子女先于婆婆去世，由子女的直系晚辈血亲（如孙子女）代位继承。
     
2. 第二顺序继承人：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
   
   • 仅当无第一顺序继承人时，才由第二顺序继承人继承。
     

三、实务操作建议

1. 查询存款信息：需提供婆婆的死亡证明、亲属关系证明（如户口本、结婚证）、继承人身份证等材料，向银行申请查询存款余额。
   
2. 办理继承公证或诉讼：
   
   • 公证继承：所有继承人协商一致，到公证处办理继承权公证，凭公证书提取存款。
     
   • 诉讼继承：若继承人协商不成，可向法院起诉，由法院判决分配方案。
     
3. 注意债务清偿：若婆婆生前有未清偿债务，需先用遗产偿还债务后，剩余部分再分配。
   

提示：家庭继承问题易引发纠纷，建议继承人提前沟通分配方案，必要时可委托我协助起草协议或处理争议。如有具体问题，可直接向我咨询。