女子六十岁以上能否申请劳动仲裁，需根据具体情况判断：
若该六十岁以上女子未享受养老保险待遇或领取退休金，且与用人单位之间存在劳动关系：
- 这种情况下，若发生劳动争议，她可以申请劳动仲裁。因为根据相关法律规定，劳动关系存续期间，劳动者的合法权益受劳动法律法规保护，劳动仲裁是解决劳动争议的法定途径之一。例如，如果她在工作中遭遇了工资拖欠、未签劳动合同等劳动争议，且未享受养老保险待遇或领取退休金，那么她完全有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。
若该六十岁以上女子已享受养老保险待遇或领取退休金，再到用人单位工作：
- 此时双方建立的是劳务关系而非劳动关系。对于劳务关系产生的纠纷，一般不适用劳动仲裁程序，而应通过民事诉讼等其他合法途径解决。因为劳务关系主要受民事法律法规调整，与劳动关系的法律适用有所不同。比如，如果她已经领取了退休金，但仍在某单位从事兼职工作，并与该单位发生了报酬支付等方面的纠纷，那么这种纠纷就不属于劳动仲裁的受理范围，而应通过民事诉讼等途径来解决。
法律背景与建议：
- 劳动仲裁是解决劳动争议的重要途径，但并非所有劳动争议都适用劳动仲裁。特别是当劳动者达到法定退休年龄并享受养老保险待遇或领取退休金后，其与用人单位之间的关系可能转变为劳务关系，此时发生的纠纷就不再适用劳动仲裁程序。
- 对于六十岁以上的女子来说，如果她仍在工作且未享受养老保险待遇或领取退休金，那么她应该了解自己的劳动权益，并在发生争议时及时申请劳动仲裁以维护自己的合法权益。
- 如果她已经享受了养老保险待遇或领取了退休金，那么在与用人单位发生纠纷时，她应该考虑通过民事诉讼等其他途径来解决争议。
可能的法律后果：
- 如果六十岁以上的女子在符合劳动仲裁受理条件的情况下未及时申请劳动仲裁，可能会错过维护自己合法权益的最佳时机。
- 如果她错误地申请了劳动仲裁而实际上应该通过民事诉讼等途径解决纠纷，那么她可能会面临仲裁不予受理或裁决被撤销等不利后果。
综上所述，六十岁以上女子能否申请劳动仲裁需根据其是否享受养老保险待遇或领取退休金以及与用人单位之间是劳动关系还是劳务关系来综合判断。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。