结论：一般而言，即使信用卡逾期的持卡人被刑拘，银行或催收机构仍可能会继续推进起诉程序，但具体是否起诉及起诉的时间点会受多种因素影响。以下从不同角度为您详细分析：
一、民事起诉角度
催收与起诉的独立性：信用卡逾期后，银行的催收行为与起诉行为是相互独立的。催收主要是为了促使持卡人尽快还款，而起诉则是银行在催收无果后，通过法律途径追讨欠款的一种手段。因此，即使持卡人被刑拘，银行仍可能选择继续起诉，以维护自身权益。
起诉的法律依据：根据《民事诉讼法》的相关规定，银行作为债权人，有权在持卡人逾期未还款且经催收无果的情况下，向法院提起民事诉讼。这一权利并不因持卡人被刑拘而丧失。
起诉后的程序：一旦银行提起民事诉讼，法院会依法受理并审理案件。即使持卡人被刑拘，法院仍会按照法定程序进行送达、开庭、判决等环节。持卡人虽可能无法亲自出庭，但可通过委托代理人参与诉讼。
二、刑事诉讼角度（如涉及恶意透支）
恶意透支的认定：若持卡人以非法占有为目的，超过规定限额或期限透支，并经发卡银行两次催收后超过三个月仍不归还，可能被认定为“恶意透支”，涉嫌信用卡诈骗罪。在此情况下，银行可能会向公安机关报案。
刑事诉讼的流程：公安机关受理报案后，会进行调查取证。若证据充分，会依法对持卡人采取刑事强制措施（如拘留、逮捕等）。但这一流程与银行是否继续起诉民事纠纷并无直接关联。银行仍可能选择在刑事诉讼进行的同时，继续推进民事起诉程序。
刑事与民事的并行处理：在司法实践中，刑事诉讼与民事诉讼可以并行处理。即使持卡人因涉嫌信用卡诈骗罪被刑拘或起诉，银行仍可就其信用卡逾期欠款提起民事诉讼。两者在法律上互不干扰，分别承担不同的法律责任。
三、实际操作中的考量因素
欠款金额与成本效益：银行在决定是否起诉时，会综合考虑欠款金额、催收成本、诉讼成本等因素。若欠款金额较小，银行可能会权衡利弊后选择不起诉或暂缓起诉。
持卡人还款能力与意愿：若持卡人虽被刑拘，但仍有还款能力或还款意愿（如通过家属代为还款），银行可能会选择与持卡人或其家属协商解决方案，而非直接起诉。
司法资源与效率：在司法资源有限的情况下，法院可能会优先处理涉及重大利益或社会影响的案件。因此，即使银行提起诉讼，案件的审理进度也可能受到一定影响。
四、法律建议
积极应对催收与起诉：若您或您认识的人因信用卡逾期被催收或面临起诉，建议积极与银行沟通，了解欠款情况并寻求解决方案。如确实无法按时还款，可主动与银行协商延期还款或分期还款等事宜。
保留相关证据：在处理信用卡逾期问题时，建议保留好与银行的沟通记录、还款凭证等相关证据。这些证据在后续可能发生的诉讼中可能起到关键作用。
寻求专业法律帮助：如您对信用卡逾期问题处理存在疑问或需要法律帮助，可直接向我咨询。我将根据您的具体情况提供专业的法律建议和解决方案。