结论：孩子在学校撞伤别人，您作为家长垫付医药费后，并不需要每次都亲自陪同受伤者就医，但需根据实际情况和责任划分来妥善处理后续事宜。

分析：

1. 责任划分：

   • 首先，需要明确的是，孩子在学校撞伤他人，这一行为可能构成侵权。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，无民事行为能力人或限制民事行为能力人造成他人损害的，由其监护人承担侵权责任。因此，您作为孩子的监护人，有义务承担相应的赔偿责任。
   • 然而，责任的具体划分还需考虑学校是否尽到了管理职责。如果学校在教育、管理过程中存在过错，如未提供安全的学习环境、未及时制止危险行为等，那么学校也可能需要承担一定的责任。

2. 垫付医药费与陪同就医：

   • 您已经垫付了医药费，这体现了您作为监护人的责任感。但垫付医药费并不等同于您需要每次都亲自陪同受伤者就医。陪同就医更多是一种人文关怀，而非法律义务。
   • 在实际操作中，您可以与受伤者的家长或监护人进行沟通，了解受伤者的治疗情况和需求。如果受伤者需要进一步的帮助或支持，您可以根据实际情况提供适当的协助，如提供交通、联系医院等。

3. 后续处理建议：

   • 与学校沟通：及时与学校沟通，了解事故的具体情况和学校的处理态度。如果学校存在过错，您可以要求学校承担相应的责任。
   • 与受伤者家长协商：与受伤者的家长或监护人进行友好协商，就赔偿事宜达成一致意见。如果协商无果，您可以考虑通过法律途径解决纠纷。
   • 保留证据：在处理过程中，务必保留好相关证据，如医疗费用发票、事故现场照片、证人证言等。这些证据将有助于您在后续处理中维护自己的合法权益。

4. 法律后果：

   • 如果您未能妥善处理此事，导致纠纷升级或引发法律诉讼，那么您可能需要承担更多的法律责任和经济损失。因此，建议您在处理过程中保持冷静和理性，积极寻求合法合理的解决方案。

总结与建议： 孩子在学校撞伤他人后，您作为监护人需要承担相应的赔偿责任。但垫付医药费并不等同于需要每次都亲自陪同受伤者就医。在处理过程中，建议您与学校、受伤者家长进行友好沟通，协商解决赔偿事宜。如果协商无果或遇到复杂情况，您可以考虑咨询专业律师（即向我咨询）以获取更具体的法律建议和帮助。