结论前置：在民事调解书履行完毕后，若申请执行人提出执行申请，法院应裁定不予执行的法律依据主要在于调解书已履行完毕，执行申请无实际意义，且不符合执行程序的启动条件。
详细分析：
调解书履行完毕的法律效果：
- 民事调解书是法院根据双方当事人的自愿和合法原则，对民事纠纷进行调解后达成的协议，具有法律效力。
- 一旦调解书确定的内容全部履行完毕，即意味着双方当事人的权利义务关系已经终结，纠纷得到彻底解决。
执行申请的启动条件：
- 执行程序是法院根据申请执行人的申请，对被执行人强制履行生效法律文书确定义务的一种司法活动。
- 执行申请的启动，必须以存在未履行的生效法律文书为前提。若法律文书已履行完毕，则执行申请无实际意义，也不符合执行程序的启动条件。
不予执行的法律依据：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释的规定，执行程序应基于未履行的生效法律文书进行。若调解书已履行完毕，申请执行人再提出执行申请，法院应审查并发现该申请不符合执行程序的启动条件。
- 在此情况下，法院应依据相关法律规定，裁定不予执行。这一裁定是基于调解书已履行完毕的事实，以及执行程序应基于未履行法律文书的基本原则作出的。
特殊情况下的处理：
- 尽管调解书已履行完毕是通常情况下的不予执行理由，但若存在特殊情况，如调解书履行过程中存在欺诈、胁迫等违法行为，或调解书内容本身存在违法情形，申请执行人可能提出异议或申请再审。
- 然而，这些特殊情况并不改变调解书已履行完毕的基本事实，也不影响法院在调解书已履行完毕的情况下裁定不予执行的基本原则。若存在特殊情况，申请执行人应通过其他法律途径（如提起诉讼、申请再审等）解决。
法律建议：
- 对于申请执行人而言，在提出执行申请前，应仔细审查调解书的履行情况，确保存在未履行的义务。若调解书已履行完毕，则无需再提出执行申请。
- 对于被执行人而言，若收到执行申请且调解书已履行完毕，应及时向法院提出异议，并提供相关证据证明调解书已履行完毕的事实。
可能后果：
- 若法院裁定不予执行，申请执行人需承担执行申请被驳回的后果，且可能需承担一定的诉讼费用。
- 若申请执行人坚持执行申请且存在恶意诉讼等情形，可能面临法律制裁，如罚款、拘留等。
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