销售三无产品牙膏是违法的。以下从多个角度对此问题进行详细分析：
一、法律定性
根据《中华人民共和国产品质量法》的相关规定，产品或其包装上的标识必须真实，并包含产品质量检验合格证明、生产者的名称和地址等关键信息。三无产品，即无生产日期、无质量合格证、无生产厂家的产品，因违反这些规定而被视为非法产品。因此，销售三无产品牙膏，无疑违反了产品质量法的相关规定，属于违法行为。
二、法律责任
民事赔偿责任：
- 若三无产品牙膏给消费者造成实际损失，如口腔健康受损、医疗费支出等，销售者需承担相应的民事赔偿责任。
- 消费者还可根据《消费者权益保护法》的规定，要求销售者增加赔偿受到的损失，赔偿金额可能为消费者购买商品价款或服务费用的数倍。
行政处罚：
- 相关行政部门有权对销售三无产品牙膏的商家进行查处，包括但不限于责令停止销售、没收违法所得和违法销售的产品，并处以相应罚款。
- 情节严重者，还可能被吊销营业执照，从而失去继续经营的资格。
刑事责任：
- 如果销售三无产品牙膏的行为构成犯罪，如生产、销售伪劣产品罪，销售者将面临刑事追责。
- 具体的刑罚包括有期徒刑、拘役，并处罚金或没收财产，这将对违法者产生极大的震慑作用。
三、具体罪名及量刑标准（若构成犯罪）
销售伪劣产品罪：
- 若三无牙膏属于伪劣产品，且销售金额达到五万元以上，即构成此罪。
- 量刑标准根据销售金额的不同而有所差异，从二年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处销售金额百分之五十以上二倍以下罚金，到十五年有期徒刑或者无期徒刑，并处销售金额百分之五十以上二倍以下罚金或者没收财产。
生产、销售假药罪（若三无牙膏被认定为假药）：
- 若三无牙膏被认定为假药，无论销售金额多少，均构成此罪。
- 量刑标准从三年以下有期徒刑或者拘役，并处罚金，到十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑，并处罚金或者没收财产。
生产、销售劣药罪（若三无牙膏被认定为劣药）：
- 若三无牙膏被认定为劣药，且对人体健康造成严重危害，则构成此罪。
- 量刑标准从三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金，到十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。
四、消费者的权利与行动
- 消费者在购买牙膏时，应仔细查看产品标识，避免购买三无产品。
- 一旦发现购买的产品存在质量问题或属于三无产品，消费者有权要求销售者进行退货、退款或赔偿损失。
- 若协商无果，消费者可以向消费者协会投诉或向法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
总结与建议：销售三无产品牙膏是违法的，可能涉及民事赔偿、行政处罚乃至刑事责任。作为销售者，应严格遵守法律法规，确保所售产品的质量和安全。作为消费者，在购买牙膏时应保持警惕，仔细查看产品信息，避免购买三无产品。若遭遇三无产品问题，应依法维护自己的权益。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。