将非卖品的牙膏以一元价格卖给顾客，这一行为是否违法，需分情况讨论：
若该牙膏本身存在质量问题或安全隐患：
- 根据《中华人民共和国产品质量法》的相关规定，生产者、销售者应当对其生产、销售的产品质量负责。如果牙膏作为非卖品，本身存在质量问题或安全隐患，而商家仍然将其出售，那么这一行为就违反了产品质量法的规定。商家可能会面临行政处罚，如罚款、没收违法所得等，同时，如果因牙膏质量问题给顾客造成损害，商家还需承担相应的民事赔偿责任。
若该牙膏本身质量合格，但商家未经授权或违反规定出售：
- 如果牙膏本身质量合格，但商家未经生产商或相关权利人的授权，擅自将非卖品出售给顾客，这一行为可能构成侵权。生产商或相关权利人可能会依据商标法、专利法或反不正当竞争法等法律规定，追究商家的法律责任。此外，如果商家在销售过程中存在欺诈行为，如虚假宣传、误导消费者等，还可能违反《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，面临更严重的法律后果。
若商家以极低价格出售非卖品牙膏，涉嫌不正当竞争：
- 如果商家以一元这样的极低价格出售非卖品牙膏，且该行为对其他正常销售同类产品的商家造成了不公平的竞争环境，那么这一行为可能构成不正当竞争。根据《中华人民共和国反不正当竞争法》的相关规定，经营者不得采用财物或者其他手段进行贿赂以销售或者购买商品，也不得利用有奖销售的手段推销质次价高的商品。虽然直接以一元价格出售非卖品牙膏不一定直接构成贿赂或有奖销售，但如果该行为被认定为扰乱市场秩序、损害其他经营者合法权益的不正当竞争行为，商家同样可能面临法律制裁。
建议与提醒：
- 对于商家而言，应当严格遵守相关法律法规，不得擅自出售非卖品或存在质量问题的产品。同时，在销售过程中应当遵循公平、诚实信用的原则，不得进行欺诈或不正当竞争行为。
- 对于消费者而言，在购买产品时应当仔细查看产品说明和标签，了解产品的性质和质量情况。如果发现商家存在违法行为或欺诈行为，应当及时向相关部门投诉或举报，以维护自己的合法权益。
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