不可以不交罚款。以下是具体分析：

1. 行政处罚的强制性
   根据《行政处罚法》和《道路交通安全法》，交警对交通违法行为作出的罚款决定具有法律强制力。若未在规定期限内（通常为15日）缴纳罚款，将产生以下后果：

   • 滞纳金：每日按罚款数额的3%加处罚款，但总额不超过本金；
   • 强制执行：交警部门可申请法院强制执行，冻结银行账户、查封财产等；
   • 信用影响：可能被纳入个人征信系统，影响贷款、出行等。

2. 针对“骑自行车拿手机”的违法性

   • 法律依据：根据《道路交通安全法实施条例》第72条，骑自行车不得“双手离把”或“手中持物”，否则属于违法行为；
   • 处罚合理性：交警有权对此类行为处以警告或5-50元罚款，20元罚款在法定幅度内。

3. 救济途径
   若认为处罚不当，可通过以下方式维权：

   • 申请复核：在收到处罚决定书60日内向交警部门上级机关申请行政复议；
   • 提起诉讼：在6个月内向法院提起行政诉讼，要求撤销处罚。

建议：尽快缴纳罚款，避免产生额外费用和信用风险。若对处罚有异议，可依法申请复核或诉讼，但需在法定期限内行使权利。