遗嘱抚恤金并非由特定部门统一发放，而是根据抚恤金的性质和来源，由不同的单位或机构负责发放。以下是对这一问题的详细解答：

一、遗嘱抚恤金的性质与来源

遗嘱抚恤金通常指的是因被继承人死亡，根据其遗嘱或相关法律规定，由相关单位或机构给予死者家属或指定受益人的经济补偿。这种抚恤金可能来源于多个方面，如社会保险、单位福利、商业保险等。

二、不同来源的遗嘱抚恤金发放部门

1. 社会保险来源：

   • 如果遗嘱抚恤金来源于社会保险，如养老保险、工伤保险等，那么通常由社会保险经办机构负责发放。这些机构会根据相关法律法规和政策规定，审核并支付抚恤金给符合条件的家属或指定受益人。

2. 单位福利来源：

   • 如果遗嘱抚恤金是单位提供的福利，如企业年金、补充养老保险等，那么通常由单位的人事部门或财务部门负责发放。单位会根据内部规章制度和与员工签订的协议，确定抚恤金的发放标准和方式。

3. 商业保险来源：

   • 如果遗嘱抚恤金来源于商业保险，如人寿保险、意外伤害保险等，那么由保险公司负责发放。保险公司会根据保险合同的约定，审核并支付抚恤金给受益人。

三、遗嘱抚恤金发放流程

无论遗嘱抚恤金来源于哪个方面，其发放流程通常都包括以下几个步骤：

1. 申请：家属或指定受益人需要向相关单位或机构提交抚恤金申请，并提供必要的证明材料，如死亡证明、遗嘱、亲属关系证明等。

2. 审核：相关单位或机构会对申请材料进行审核，确认申请人的资格和抚恤金的发放标准。

3. 支付：审核通过后，相关单位或机构会按照约定的方式和时间支付抚恤金给申请人。

四、注意事项

1. 了解来源：在申请遗嘱抚恤金前，家属或指定受益人需要了解抚恤金的来源和性质，以便确定正确的申请对象和流程。

2. 准备材料：根据申请对象的要求，准备必要的证明材料，确保申请的顺利进行。

3. 遵守规定：在申请和领取抚恤金过程中，需要遵守相关法律法规和政策规定，不得提供虚假信息或进行欺诈行为。

如有关于遗嘱抚恤金的具体问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据你的具体情况，提供详细的法律建议和指导。