工程联系单的签署顺序并没有严格的法定要求，通常是根据工程实际情况和各方协商的结果来确定，一般由提出变更或沟通事项的一方先起草并签署，然后发送给其他相关方进行会签或确认。以下是对此问题的详细分析：
工程联系单的定义与作用
工程联系单是在工程施工过程中，用于沟通图纸变更、甲方要求改变事项等内容的文书。它起到了进一步斟酌、避免出错的作用，是建设方、施工方、监理方各方通用的表格。在施工当中，各方有需要沟通与协商的事宜，可以通过工程联系单进行处理。
签署顺序的一般原则
提出方先签：
- 在大多数情况下，工程联系单由提出变更或沟通事项的一方（如建设单位、设计单位或施工单位）先起草并签署。
- 这一方在联系单中明确变更内容、原因及影响，然后发送给其他相关方进行会签或确认。
会签与确认：
- 收到工程联系单后，其他相关方（如监理单位、其他施工单位等）会对联系单的内容进行审核。
- 审核无误后，相关方会在联系单上签署意见，表示同意或提出修改建议。
- 这个过程可能涉及多次往返沟通，直到各方达成一致意见。
不同情况下的签署顺序
设计变更导致的联系单：
- 如果设计单位提出设计变更，那么设计单位会先签署工程联系单，并发送给建设单位和施工单位。
- 建设单位和施工单位审核后，签署意见并返回给设计单位。
建设单位要求的变更：
- 如果建设单位提出变更要求，那么建设单位会先签署工程联系单，并发送给设计单位和施工单位。
- 设计单位和施工单位根据变更要求进行相应的调整，并签署意见。
施工单位提出的变更：
- 如果施工单位在施工过程中发现需要变更的事项，那么施工单位会先签署工程联系单，并发送给建设单位和监理单位。
- 建设单位和监理单位审核后，签署意见并决定是否同意变更。
法律建议
- 明确签署流程：在工程合同中，可以明确工程联系单的签署流程、责任主体及签署时限，以避免后续纠纷。
- 保留原始件：不管是建设单位还是施工单位，都必须持有工程联系单的原始件，不可以用复印件，以免造成对方不承认的情况。
- 及时沟通与协商：在签署工程联系单的过程中，各方应及时沟通与协商，确保变更事项得到妥善处理。
在实际操作中，建议各方根据工程实际情况和合同约定，灵活处理工程联系单的签署顺序问题。如果有任何疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。