结论前置：自2021年1月1日起，签订合同及处理合同纠纷均应适用《中华人民共和国民法典》中的合同编，原《中华人民共和国合同法》已同时废止。以下是对这一问题的详细分析：
一、法律适用上的区别
《合同法》的废止：
- 《中华人民共和国合同法》自《民法典》施行之日起（即2021年1月1日）同时废止。这意味着，在此日期之后签订的所有合同，以及处理相关合同纠纷，均不再适用《合同法》的相关规定。
《民法典》合同编的适用：
- 《民法典》中的第三编为合同编，它全面、系统地规定了合同的相关内容，包括但不限于合同的订立、效力、履行、变更、转让、终止以及违约责任等各个方面。合同编不仅吸收整合了原《合同法》的大部分内容，还根据社会发展和司法实践的需要进行了补充、完善和创新。
二、具体内容上的区别与联系
内容上的继承与发展：
- 《民法典》合同编在内容上继承了原《合同法》的大部分规定，如合同的订立方式、合同的效力、合同的履行等。同时，合同编也根据时代的发展和司法实践的需要，对原《合同法》中的一些规定进行了补充和完善，如增加了绿色原则、完善了格式条款的规制等。
新增与修改的内容：
- 《民法典》合同编新增了一些内容，如情势变更原则、第三人代为履行等，这些新增内容为合同法律制度提供了更加完善的保障。同时，合同编也对原《合同法》中的一些规定进行了修改，如调整了违约责任的范围和计算方式等。
三、法律适用上的注意事项
不溯及既往原则：
- 虽然《民法典》已经施行，但原则上它并不溯及既往。即民法典生效前签订的合同，原则上仍适用当时的《合同法》相关规定。但如《民法典》的时间效力规定中有特别说明，或存在其他特殊情况，则可能适用《民法典》的相关规定。
仔细比对与选择：
- 在签订合同时，当事人应仔细比对《民法典》与原《合同法》的相关规定，结合合同的具体内容，选择最有利的法律适用。这有助于降低合同纠纷的风险，确保合同的合法性和有效性。
四、实际案例中的区别体现
在实际案例中，由于《民法典》合同编对原《合同法》进行了补充和完善，因此一些在原《合同法》下可能无法得到妥善解决的合同纠纷，在《民法典》合同编下可能得到了更加合理的解决。例如，关于格式条款的规制，在《民法典》合同编下得到了更加严格的规制，这有助于保护消费者的合法权益。
总结与建议：自2021年1月1日起，签订合同及处理合同纠纷均应适用《中华人民共和国民法典》中的合同编。当事人在签订合同时应充分了解并遵循相关规定，以确保合同的合法性和有效性。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。