银行失误多给300元，银行员工是否承担责任需具体分析，但通常不由员工个人承担直接责任，而应由银行承担相应责任。

一. 银行员工的责任分析

1. 一般情况下不承担直接责任：银行员工在工作中因失误多给客户钱款，这通常被视为职务行为中的过失。根据一般法律原则，此类过失应由银行作为雇主承担相应责任，而不是由员工个人直接承担。员工可能会受到银行内部的纪律处分，如警告、罚款或解雇等，但这属于银行内部管理范畴，与对外承担的法律责任不同。
2. 特殊情况下的个人责任：如果银行员工的行为构成故意或重大过失，且该行为严重违反了银行的规章制度或法律法规，那么员工个人可能会承担一定的法律责任。但这种情况较为罕见，且需要具体证据来支持。

二. 银行的责任分析

1. 基于合同关系：客户与银行之间存在存款合同或金融服务合同关系。银行员工失误多给钱款，可以视为银行未正确履行合同义务。根据《中华人民共和国合同法》的相关规定，银行应承担相应的违约责任。
2. 基于安全保障义务：虽然《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条主要规定了经营场所的安全保障义务，但也可以类比适用于银行在提供金融服务过程中的准确性保障。银行应确保其服务过程的准确性和安全性，因失误导致客户获得不当利益，银行有权要求返还，并应承担因自身失误造成的相应责任。

三. 结论与建议

• 结论：银行失误多给300元，通常不由银行员工个人承担直接责任，而应由银行承担相应责任。银行有权要求客户返还多给的钱款，并应加强对员工的管理和培训，以避免类似失误的发生。
• 建议：如果您作为客户遇到了这种情况，应积极配合银行的处理，及时返还多给的钱款。同时，也可以向银行提出改进服务、加强管理的建议。如有进一步需要，您可以继续咨询我。