教师产假在寒暑假期间顺延，期间是应当发放工资的。以下从多个角度为您详细分析：
一、产假顺延的法律依据
根据国家教育委员会《关于女教师产假有关问题的复函》(教人〔1992〕8号)的规定，女教师产假若正值寒暑假期间，其寒暑假休假时间可以顺延。但需要注意的是，教育部的答复用的是“可以”，而非“必须”，且各地根据学校的实际情况执行。这意味着，产假若恰逢寒暑假，是否可以顺延，还需与当地学校或教育部门沟通，根据学校的工作情况来定，不一定能做到产假日期与寒暑假日期简单相加作为女教师的休息日期。
二、产假期间工资发放的法律依据
《妇女权益保障法》的相关规定：
- 根据《妇女权益保障法》第四十八条，用人单位不得因结婚、怀孕、产假、哺乳等情形，降低女职工的工资和福利待遇。这意味着，女教师在产假期间，其工资和福利待遇应保持不变。
《社会保险法》的相关规定：
- 根据《社会保险法》第六十条第一款，用人单位应当自行申报、按时足额缴纳社会保险费，非因不可抗力等法定事由不得缓缴、减免。这进一步保障了女教师在产假期间的社会保险权益，包括生育保险等。
产假工资与生育津贴的关系：
- 女职工产假期间的生育津贴，对已经参加生育保险的，按照用人单位上年度职工月平均工资的标准由生育保险基金支付；对未参加生育保险的，按照女职工产假前工资的标准由用人单位支付。这意味着，无论是否参加生育保险，女教师在产假期间都应获得相应的工资或生育津贴。
三、实际操作中的建议
与学校或教育部门沟通：
- 如果您的产假恰逢寒暑假，建议您及时与学校或教育部门沟通，了解产假顺延的具体政策和操作流程。
保留相关证据：
- 在产假期间，建议您保留好与工资发放、社会保险缴纳等相关的证据，以备不时之需。
维护自身权益：
- 如果学校或教育部门在产假顺延或工资发放方面存在违法行为，您可以依法维护自身权益，包括向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁等。
四、特殊情况下的处理
- 如果您所在的地区或学校有特殊的产假政策或规定，建议您详细了解并遵守。同时，如果遇到任何不公或违法行为，都应及时寻求法律帮助。
总结来看，教师产假在寒暑假期间顺延是合法的，且期间应当发放工资。但具体政策和操作流程可能因地区和学校而异，因此建议您及时与学校或教育部门沟通并了解相关政策。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。