当被申请人因未履行法定职责而在行政复议中败诉后，其内部处理会涉及多个层面，主要包括对相关责任人员的处分以及可能的行政赔偿责任。以下是对这一问题的详细解答：
一、对直接负责的主管人员和其他直接责任人员的处分
根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，如果被申请人不履行或无正当理由拖延履行行政复议决定，其直接负责的主管人员和其他直接责任人员将可能面临以下行政处分：
警告、记过、记大过：这些是相对较轻的行政处分，旨在警示相关责任人员，促使其改正错误。
降级、撤职、开除：如果情节严重，如造成重大损失或恶劣影响，相关责任人员可能会面临更严厉的处分，包括降级、撤职甚至开除。
这些处分通常由被申请人的上级行政机关或监察机关依法作出。
二、行政赔偿责任
除了对相关责任人员的处分外，如果被申请人的违法行为给申请人造成了损失，被申请人还应当依法承担赔偿责任。这包括但不限于因未履行法定职责而导致的直接经济损失、间接经济损失以及可能的精神损害赔偿等。
三、具体处理措施
在内部处理过程中，还可能采取以下具体措施来确保行政复议决定的执行：
行政复议机关的督促与监督：行政复议机关或其上级行政机关有权责令被申请人限期履行行政复议决定，并通过内部监督机制推动决定的执行。必要时，可采取通报批评等行政手段来强化执行力度。
向人民法院申请强制执行：如果被申请人仍拒不履行行政复议决定，申请人可以在法定期限内向人民法院申请强制执行。这需要提交申请书、身份证明及行政复议决定书等材料，法院经审查后作出裁定并执行。
检察机关的法律监督：在特定情形下，如涉及国家利益、社会公共利益等，人民检察院可依法提出检察建议或提起公益诉讼，通过法律监督程序保障行政复议决定的落实。
综上所述，当被申请人因未履行法定职责而在行政复议中败诉后，其内部处理将涉及对相关责任人员的处分、行政赔偿责任以及一系列具体处理措施来确保行政复议决定的执行。这些处理措施旨在维护法律的权威性和公正性，保障申请人的合法权益。