员工嫖娼被行政拘留后，公司是否可以开除该员工，需分情况讨论：

1. 若公司规章制度或劳动合同中有明确规定：

   • 如果公司的规章制度或劳动合同中明确规定了员工因违法或违反公序良俗行为（如嫖娼）可被解除劳动合同，并且这一规定不违反法律法规的强制性规定，那么公司依据此开除员工是合法的。因为嫖娼作为违反治安管理的违法行为，虽不属于“被依法追究刑事责任”的情形，但通常被视为严重违反了社会道德规范，公司有权依据内部规定进行处分。

2. 若公司规章制度或劳动合同中无明确规定：

   • 若公司的规章制度中没有明确规定员工嫖娼被行政拘留属于可解除劳动合同的情形，或者规章制度的制定程序违法、内容不合理，公司以此为由开除员工可能构成违法解除劳动合同。此时，员工有权通过劳动仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益，要求公司支付经济赔偿金。

3. 公司解除劳动合同需遵循法定程序：

   • 无论公司是否有相关规定，解除劳动合同都需遵循法定程序，如通知工会（如有）、向员工送达解除劳动合同的通知等。若公司未履行这些程序，其解除劳动合同的行为同样可能被认定为违法。例如，根据《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第四十七条，建立了工会组织的用人单位解除劳动合同符合相关规定，但未按照劳动合同法规定事先通知工会，劳动者以用人单位违法解除劳动合同为由请求用人单位支付赔偿金的，人民法院应予支持。

法律建议：

• 对于公司：在处理员工因嫖娼被行政拘留而解除劳动合同的问题时，应全面审查自身的规章制度、劳动合同以及相关法律法规，确保开除决定的合法性。同时，应遵循法定的解除劳动合同程序，以避免法律风险。建议公司在制定规章制度时，明确规定员工违法或违反公序良俗行为的处分措施，并确保规章制度的制定程序合法、内容合理。
• 对于员工：应遵守法律法规和公司规章制度，维护自己的职业形象和合法权益。若认为公司的开除决定违法，应及时寻求法律途径进行维权，如向劳动仲裁机构申请仲裁或向人民法院提起诉讼。

可能法律后果：

• 若公司违法解除劳动合同，员工有权要求公司支付经济赔偿金，赔偿金的标准通常根据员工在公司的工作年限和工资水平来确定。
• 若员工认为公司的开除决定侵犯了其合法权益，还可以通过法律途径要求公司恢复劳动关系或承担其他法律责任。

综上所述，员工嫖娼被行政拘留后，公司开除该员工是否违法是一个复杂的法律问题，需要综合考虑多个因素。如有具体法律问题，可以直接向我咨询。