结论概述：在新闻背景中，覃女士不慎坠入一口废弃水井并遭受伤害，废弃水井的管理者是否担责需根据具体情况判断，若管理者未尽到安全管理义务，如未设置警示标志、未采取防护措施等，则需承担相应责任。
一、法律定性及责任分析
侵权责任：
- 根据《民法典》侵权责任编的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
- 在此案例中，废弃水井的管理者若未尽到安全管理义务，如未设置明显的警示标志、未采取有效的防护措施等，导致覃女士不慎坠入并遭受伤害，管理者则可能因过错而承担侵权责任。
安全保障义务：
- 根据《民法典》第一千一百九十八条，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。
- 废弃水井虽非典型的经营场所或公共场所，但管理者对其范围内的设施仍负有安全保障义务。若管理者未尽到此义务，导致他人损害，同样需承担责任。
二、可能涉及的法律条文
- 《民法典》侵权责任编：规定了侵权责任的一般原则，包括过错责任原则、无过错责任原则等，为判断管理者是否担责提供了法律依据。
- 《民法典》第一千一百九十八条：明确了安全保障义务的责任主体和责任范围，为判断废弃水井管理者是否尽到安全保障义务提供了具体标准。
三、可能的法律后果
若管理者担责：
- 管理者需承担覃女士因坠井而遭受的损失，包括医疗费、误工费、护理费等。
- 若覃女士因坠井而遭受严重精神损害，管理者还需承担精神损害赔偿责任。
若管理者不担责：
- 若管理者能证明已尽到安全管理义务，如已设置明显的警示标志、已采取有效的防护措施等，则可能不承担责任。
- 但在此案例中，从新闻背景描述来看，管理者未尽到安全管理义务的可能性较大。
四、对公众的启示
增强安全意识：
- 公众在散步或进行其他户外活动时，应增强安全意识，注意观察周围环境，避免进入危险区域。
督促管理者履行义务：
- 公众有权督促废弃水井等危险设施的管理者履行安全管理义务，如设置警示标志、采取防护措施等。
- 若发现管理者未履行义务，可向相关部门举报或投诉。
五、类似情况的预防措施
加强监管：
- 相关部门应加强对废弃水井等危险设施的监管力度，定期巡查并督促管理者履行安全管理义务。
完善法律法规：
- 立法机关可进一步完善相关法律法规，明确废弃水井等危险设施的管理责任和安全保障义务的具体标准。
提高公众参与度：
- 鼓励公众参与废弃水井等危险设施的安全管理监督工作，形成政府、社会和公众共同参与的安全管理格局。
总结：废弃水井的管理者是否担责需根据具体情况判断。若管理者未尽到安全管理义务导致覃女士坠井并遭受伤害，则需承担相应责任。公众应增强安全意识并督促管理者履行义务，同时相关部门也应加强监管并完善法律法规以预防类似情况的发生。如有进一步疑问或需要法律帮助，可以直接向我咨询。