做亲子鉴定的公司应当开具发票。以下从不同角度进行分析：

1. 从法律义务角度：

   • 根据我国税收相关法律法规，任何从事经营活动的单位和个人，在提供商品或服务并收取款项时，都有义务向付款方开具发票。亲子鉴定公司作为提供专业鉴定服务的机构，在收取鉴定费用后，必须依法开具发票。这是其履行纳税义务、接受税务监管的重要体现。

2. 从消费者权益保护角度：

   • 发票是消费者支付款项的凭证，也是消费者维护自身权益的重要依据。如果亲子鉴定公司不开具发票，消费者在后续遇到问题时（如鉴定结果不准确、服务不到位等），可能因缺乏有效凭证而难以维权。因此，从保护消费者权益的角度出发，亲子鉴定公司也应当开具发票。

3. 从税务监管角度：

   • 税务部门通过发票来监管企业的经营活动和纳税情况。如果亲子鉴定公司不开具发票，就可能存在偷逃税款的嫌疑，这不仅损害了国家的税收利益，也破坏了市场的公平竞争环境。因此，税务部门会加强对这类公司的监管，确保其依法开具发票、如实申报纳税。

建议：如果您在选择亲子鉴定公司时遇到不开具发票的情况，应当谨慎对待，并考虑向相关部门（如税务部门、市场监管部门等）进行举报或投诉。同时，您也可以直接向我咨询相关法律问题，我会为您提供专业、详细的解答。