当信用卡逾期时，银行客服确实有权向客户核实相关信息，这是银行进行风险管理、确保客户账户安全以及处理逾期事宜的常规流程。以下是对这一问题的详细解答：

首先，银行客服核实信息的合法性： 银行作为金融机构，有责任和义务对客户的账户情况进行监控和管理。当信用卡出现逾期时，银行客服为了了解逾期原因、确认客户身份以及制定合适的还款方案，会向客户核实相关信息，如逾期金额、逾期时长、还款能力等。这一行为是合法的，也是银行风险管理的重要环节。

其次，客户应如何应对银行客服的核实：

1. 保持冷静与礼貌：面对银行客服的核实，客户应保持冷静，以平和、礼貌的态度回应。避免因情绪激动或不当言行导致沟通障碍。
2. 核实客服身份：在沟通开始前，客户可以要求客服提供工号或其他能证明其身份的信息，以确保对方确实是信用卡所属银行的正式员工，避免遭遇诈骗。
3. 如实提供信息：客户应如实向银行客服提供逾期原因、还款能力等相关信息。这有助于银行客服更准确地了解客户情况，从而制定更合适的还款方案。
4. 协商解决方案：在了解逾期情况后，客户可以与银行客服协商解决方案，如申请分期还款、延长还款期限等。根据自身还款能力，提出合理的还款方案，并与银行共同协商达成双方都能接受的还款计划。

再次，银行客服核实信息的目的： 银行客服核实信息的主要目的是为了了解客户逾期情况，评估风险，并制定合适的还款方案。同时，这也是银行为了保护客户账户安全、防止欺诈行为的重要措施。通过核实信息，银行可以更准确地判断客户是否具备还款能力，从而避免不必要的法律纠纷和损失。

最后，客户应注意的事项：

1. 记录关键信息：在沟通过程中，客户应记录下客服承诺的事项、协商确定的还款方案、下次沟通的时间等关键信息，以备后续需要时查阅。
2. 制定并执行还款计划：一旦与银行达成还款协议，客户务必严格按照约定按时足额还款，避免再次逾期。
3. 关注个人信用记录：信用卡逾期会直接影响个人信用记录，对未来申请贷款、信用卡等金融服务产生不利影响。因此，客户应定期查询自己的信用报告，及时纠正其中的错误或不良信息。

综上所述，当信用卡逾期时，银行客服向客户核实信息是合法且必要的。客户应保持冷静、如实提供信息、与银行客服协商解决方案，并关注个人信用记录。这样不仅能有效解决当前的逾期问题，还能为未来的金融生活打下良好的基础。