结论前置：
详细分析：
一、法定抚养义务
抚养未成年子女是父母的法定义务，这是由法律明确规定的。当孩子的父亲去世后，如果母亲仍然健在且有抚养能力，那么母亲应当继续履行抚养义务，确保孩子的生活、教育等需求得到满足。在这种情况下，爷爷奶奶并没有直接支付抚养费的法定义务。
二、特殊情况下的抚养义务
虽然爷爷奶奶通常没有直接支付抚养费的法定义务，但在某些特殊情况下，他们可能会基于法律规定或自愿选择承担一定的抚养责任。具体来说：
母亲丧失抚养能力：如果母亲因严重疾病、残疾等丧失劳动能力且没有经济来源，导致无法保障孩子基本生活时，有负担能力的祖父母（即爷爷奶奶）对于父母已经死亡或者父母无力抚养的未成年孙子女有抚养的义务。此时，如果爷爷奶奶有负担能力，可能需要承担一定的抚养责任，包括支付必要的抚养费等。
自愿帮助与支持：虽然爷爷奶奶没有直接的法律义务支付抚养费，但他们可以选择自愿提供帮助和支持。这种帮助可以是经济上的、生活上的或者情感上的，完全是出于家庭亲情和道义考虑，而非法律强制。
三、抚养协议或安排
如果孩子的父亲在世时与爷爷奶奶有共同的抚养安排或协议，并且这份协议在父亲去世后仍然有效，那么爷爷奶奶可能需要按照协议继续支付抚养费。但这种情况相对较少见，且必须依赖具体的法律文件或协议来支持。
四、社会救助与其他亲属帮助
如果孩子的母亲因经济困难无法独自承担抚养责任，她可以向相关部门申请社会救助，或者寻求其他亲属的帮助。在特定情况下，如母亲无力抚养且爷爷奶奶有能力并提供帮助时，双方可以协商达成一种自愿的抚养安排。
总结与建议：
综上所述，孩子的父亲去世后，爷爷奶奶通常没有法律义务直接支付抚养费。但在某些特殊情况下，他们可能会基于法律规定或自愿选择承担抚养责任。如果涉及具体的法律问题或争议，比如您不确定自己是否需要承担抚养责任，或者您认为自己的权益受到了侵害，都可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况，给出更准确的法律意见和指导。