结论前置：针对您描述的情况，法院是可以进行执行的。下面我将从执行的条件、执行程序以及您可能需要注意的事项等角度，为您详细分析。
一、执行的条件
根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当一方当事人不履行生效法律文书确定的义务时，另一方当事人可以向人民法院申请执行。在您的情况下，由于对方已经按照调解书或判决书支付了一个月的款项后便不再支付，这明显构成了不履行生效法律文书确定的义务，因此您有权向法院申请强制执行。
二、执行程序
提交申请：
- 您需要向法院提交一份强制执行申请书，并附上生效的法律文书（如调解书、判决书）以及对方未履行义务的证据。
法院审查：
- 法院在收到您的申请后，会进行审查，确认申请是否符合执行条件。
执行通知：
- 如果法院认为您的申请符合执行条件，会向对方发出执行通知，要求其在一定期限内履行义务。
执行措施：
- 如果对方在规定期限内仍未履行义务，法院可以采取多种执行措施，如查封、扣押、拍卖财产等，以强制对方履行义务。
三、您可能需要注意的事项
及时申请：
- 不要拖延申请执行的时间，以免对方转移财产或采取其他逃避执行的行为。
提供准确信息：
- 在申请执行时，要提供对方准确的财产信息和联系方式，以便法院能够更有效地执行。
配合法院工作：
- 在执行过程中，要积极配合法院的工作，如提供必要的证据、协助法院查找对方财产等。
关注执行进展：
- 您可以定期向法院询问执行进展情况，以便及时了解执行动态。
四、可能的法律后果
- 如果对方仍然拒不履行生效法律文书确定的义务，法院可以采取更严厉的执行措施，如将其纳入失信被执行人名单、限制高消费等。
- 在极端情况下，如果对方的行为构成拒不执行判决、裁定罪，还可能面临刑事处罚。
总结与建议：针对您的情况，我建议您尽快向法院提交强制执行申请，并提供对方未履行义务的证据。在执行过程中，要积极配合法院的工作，并关注执行进展情况。如果您在执行过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。