当老板的公司改名字并搬迁后，要证明这是同一家公司，可以从以下几个方面入手来提供证据和进行操作：
一、官方登记与备案信息
企业迁移登记：
- 如果公司是在同一省份内进行迁移（如江苏省），可以利用当地的高效企业迁移登记服务（如江苏省的“企业迁移登记‘一件事’”）。通过完成线上申请流程，并前往迁入地登记机关一次，可以同步完成营业执照、税务、社保、住房公积金、医保等关键事项的迁移与变更登记。这些登记信息会记录在官方系统中，可以作为证明公司同一性的重要依据。
工商变更登记：
- 公司名称变更和地址变更都需要在工商部门进行变更登记。变更后，工商部门会颁发新的营业执照，上面会注明新的公司名称和地址。同时，工商部门的登记档案中也会保留公司变更前后的所有信息，包括公司名称、地址、法定代表人等，这些都可以作为证明公司同一性的材料。
税务登记变更：
- 公司名称和地址变更后，还需要在税务部门进行税务登记的变更。税务部门会更新公司的税务信息，并颁发新的税务登记证。税务部门的登记信息也是证明公司同一性的重要依据之一。
二、内部文件与记录
公司章程与股东会决议：
- 公司名称变更和地址变更通常需要经过股东会的决议，并修改公司章程。这些内部文件会详细记录公司变更的原因、过程以及变更后的公司名称和地址等信息，可以作为证明公司同一性的内部证据。
业务合同与往来文件：
- 在公司名称变更和地址变更后，公司可能会与客户、供应商等签订新的业务合同或往来文件。这些文件中会注明新的公司名称和地址，但同时也会提及或保留原公司名称和地址的信息，以证明这是同一家公司的连续业务。
三、第三方认证与公告
银行账户变更：
- 公司名称和地址变更后，还需要在银行进行账户信息的变更。银行会更新公司的账户信息，并出具相关的变更证明。这些证明可以作为公司同一性的第三方认证材料。
公告与通知：
- 公司可以在官方网站、社交媒体平台或行业刊物上发布公告或通知，告知客户、供应商等合作伙伴公司名称和地址的变更情况。这些公告或通知可以作为证明公司同一性的公开证据。
四、实际操作建议
- 保留所有变更文件：包括工商变更登记证明、税务登记变更证明、银行账户变更证明等所有官方文件，以及公司内部的股东会决议、公司章程修改文件等。
- 更新所有业务资料：包括名片、宣传册、网站信息等所有对外展示的业务资料，确保它们反映公司最新的名称和地址信息。
- 主动告知合作伙伴：通过邮件、电话或面对面会议等方式，主动告知所有重要的客户、供应商等合作伙伴公司名称和地址的变更情况。
综上所述，通过官方登记与备案信息、内部文件与记录、第三方认证与公告以及实际操作建议等多个方面的综合运用，可以有效地证明改名字并搬迁后的公司仍然是同一家公司。