结论前置：民事诉讼当事人对驳回的申请再审的民事裁定不服的，若选择向检察院申请抗诉，则一般应在再审判决、裁定发生法律效力后两年内提出；若选择再次申请再审，则通常应在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出，但在特定特殊情形下，可自知道或应当知道之日起六个月内提出。

一、向检察院申请抗诉的期限

根据《人民检察院民事诉讼监督规则》的相关规定，当事人对再审驳回不服申请抗诉的，应在人民法院作出驳回再审申请裁定或者再审判决、裁定发生法律效力之日起二年内提出。不过，若存在可能损害国家利益、社会公共利益；审判、执行人员有贪污受贿，徇私舞弊，枉法裁判等违法行为；当事人因不可抗拒的事由或者其他正当理由耽误期限等情形，不受二年期限限制。

二、再次申请再审的期限

1. 一般规定： 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人在民事诉讼中，如对已经发生法律效力的判决、裁定不服，通常应在判决、裁定生效后六个月内提出再审申请。这一规定适用于大多数民事案件，旨在为当事人提供一个合理的期限来审视判决、裁定的正确性，并在必要时提出再审请求。

2. 特殊情形下的再审期限： 在以下特殊情形下，当事人可以在知道或应当知道相关事实之日起六个月内提出再审申请：

   • 新证据出现：当事人发现了新的证据，且这些证据足以推翻原判决、裁定；
   • 伪造证据：原判决、裁定认定事实的主要证据被证实是伪造的；
   • 法律文书变更或撤销：据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或变更；
   • 审判人员违法行为：审判人员在审理该案件时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等行为。

三、注意事项与操作指南

1. 提交材料：当事人在申请再审或抗诉时，应提交再审申请书或抗诉申请书及相关证据材料，以充分证明原判决、裁定存在的错误或不当之处。
2. 期限严格性：申请再审或抗诉的期限是严格的，超过期限后，当事人将失去直接申请再审或抗诉的资格。因此，务必在规定期限内及时行使权利。
3. 执行不停止：在申请再审或抗诉期间，除非法院或检察院另有决定，否则原判决、裁定的执行通常不会停止。当事人仍需履行原判决、裁定所确定的义务。
4. 了解法律规定：当事人应充分了解相关法律法规及司法解释的规定，以确保自己的再审申请或抗诉申请符合法定条件和程序要求。

综上所述，民事诉讼当事人对驳回的申请再审的民事裁定不服的申诉期限，取决于其选择向检察院申请抗诉还是再次申请再审。当事人应综合考虑一般规定与特殊情形，并严格遵守相关法律规定和期限要求，以确保自己的合法权益得到有效救济。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。