您好，关于您提出的“外地判缓刑是否可以当天回老家”的问题，这并非一个简单的“是”或“否”的答案，而是需要根据具体情况和相关法律规定来综合判断。
首先，根据《刑法》第七十五条的规定，被宣告缓刑的犯罪分子在缓刑考验期限内，需要遵守一系列规定，其中包括“离开所居住的市、县或者迁居，应当报经考察机关批准”。这意味着，如果您希望在判缓刑后回老家，必须首先获得考察机关的批准。
接下来，我们分析几种可能的情况：
在外地有稳定生活和监管条件：
- 如果您在外地有固定的住所、稳定的工作，并且当地司法行政机关同意接收并进行监管，那么您有可能不需要回老家执行缓刑。在这种情况下，您可以向考察机关提出申请，说明您在外地的生活和监管情况，请求批准您在外地执行缓刑。
在外地无稳定生活和监管条件：
- 如果您在外地没有合法的居住证明、稳定的居住场所或工作，导致无法确保有效监管，那么您可能需要考虑回老家执行缓刑。在这种情况下，您可以向法院申请到户口所在地实施社区矫正，并等待考察机关的批准。
特殊原因需要回老家：
- 如果您因特殊原因（如需要照顾家庭成员、处理与案件相关的特殊事务等）希望回老家，您可以向考察机关提出特批申请。考察机关会根据您的具体情况和申请理由，决定是否批准您回老家。
关于“当天回老家”的问题：
- 无论您选择哪种方式执行缓刑，都需要经过考察机关的批准。因此，不可能在判缓刑当天就未经批准擅自回老家。您需要先向考察机关提出申请，并等待其批准后，才能按照批准的内容和要求执行。
缓刑期间的权利与限制：
- 在缓刑期间，您虽然可以就学、就业，但您的活动范围会受到一定限制。您不能擅自离开所居住的市、县或迁居。如果确需超范围活动，您必须向住所地的司法所、司法局提交申请，并获得批准。
缓刑的法律后果：
- 如果您在缓刑考验期限内顺利执行缓刑，没有违反相关法律规定，那么缓刑考验期满后，原判的刑罚将不再执行。
- 但是，如果您在缓刑考验期限内再犯新罪或发现漏罪，或者违反法律、行政法规及监督管理规定，情节严重的，那么您的缓刑将被撤销，您将需要执行原判的刑罚。
综上所述，被外地法院判缓刑后是否可以回老家执行，需要根据您的具体情况和相关法律规定来综合判断。在缓刑期间，您必须严格遵守各项规定，以确保缓刑的顺利执行。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时咨询考察机关或相关法律专业人士。