关于您提出的“第三人责任保险公司先行垫付的义务”这一问题，我将结合相关法律法规和保险条款，为您进行详细解答。

首先，需要明确的是，在中国现行的法律体系中，并没有明确规定肇事者或保险公司必须先行支付相关治疗费用及财产损失补偿。也就是说，对于车祸后的费用垫付，法律并未明确界定由哪一方来承担。

然而，在第三者责任保险（简称“三责险”）的框架下，我们可以找到一些相关的规定和原则。三责险的实质是，当被保险人或其准许的驾驶人员在驾驶投保车辆期间遭遇突发性意外事件，导致第三方受害者的人身伤害和财物直接损毁时，依照法律规定应由被保险人负有经济赔偿责任的情况下，保险公司将对此进行全额赔付。

这里的关键是，保险公司是在被保险人负有经济赔偿责任的前提下进行赔付的，而不是直接承担先行垫付的义务。换句话说，保险公司赔付的前提是事故责任已经明确，且被保险人需要承担相应的赔偿责任。

在实际操作中，如果事故责任明确，且被保险人确实需要承担赔偿责任，但暂时无法支付相关费用，那么被保险人可以与保险公司协商，看是否能够通过保险公司的赔付流程来先行解决部分或全部费用问题。但这并不意味着保险公司有法律上的先行垫付义务，而是基于双方协商和保险合同条款的约定。

此外，还需要注意的是，如果事故责任尚未明确，或者存在争议，那么保险公司通常不会先行垫付费用。在这种情况下，被保险人可能需要通过法律途径来解决责任问题，并等待法律判决后再进行赔付。

综上所述，第三人责任保险公司并没有法律上的先行垫付义务。但在实际操作中，如果事故责任明确且被保险人需要承担赔偿责任，可以与保险公司协商看是否能够通过保险赔付流程来先行解决部分或全部费用问题。希望这个解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的咨询，请随时告诉我。