针对您提出的“车老板与司机之间的问题由哪部门负责处理”这一问题，这主要取决于问题的具体性质和涉及的法律法规。以下是我为您提供的详细解答：

一、道路交通安全与事故处理

如果问题涉及到道路交通安全，如交通事故、违章驾驶等，那么公安部门（特别是交通警察部门）是主要的负责机构。他们负责道路交通安全管理、路面管控、交通事故的调查与处理，以及机动车驾驶证的发放与管理。例如，在司机撞坏老板车辆的情况下，如果事故发生在道路上，且涉及交通法规的违反，那么公安部门将介入调查，并根据事故责任划分来处理赔偿事宜。

二、雇佣关系与劳动权益

如果问题涉及到车老板与司机之间的雇佣关系、劳动权益保护等，那么劳动监察部门或人力资源和社会保障部门可能是负责机构。他们负责处理劳动争议、监督用人单位遵守劳动法律法规、保障劳动者的合法权益。不过，在大多数情况下，车老板与司机之间的雇佣关系更偏向于民事合同关系，而非典型的劳动关系，因此在实际操作中，可能更多地依赖于民事法律途径（如诉讼）来解决争议。

三、市场监管与商事登记

如果问题涉及到车老板作为企业主，其车辆运营或司机招聘等是否符合市场监管要求，那么市场监管部门可能是负责机构。他们负责给平台公司经营者办理商事登记，监督市场主体的经营行为，确保市场公平竞争。不过，这一部门通常不直接处理车老板与司机之间的具体纠纷。

四、交通运输经营行为

如果问题涉及到道路运输经营行为，如车辆运营许可、驾驶员培训等，那么交通运输主管部门可能是负责机构。他们主管道路运输经营行为，包括道路旅客运输经营、道路货物运输经营等。然而，对于车老板与司机之间的个人纠纷，交通运输主管部门通常不直接介入，除非这些纠纷涉及到违反交通运输法规的行为。

五、民事纠纷与法律途径

对于车老板与司机之间的民事纠纷，如合同违约、财产损害赔偿等，通常需要通过民事法律途径来解决。这包括协商、调解、仲裁或诉讼等方式。在这种情况下，双方可以寻求法律援助或聘请律师来代表自己进行维权。

总结：车老板与司机之间的问题由哪个部门负责处理，主要取决于问题的具体性质和涉及的法律法规。对于道路交通安全问题，找公安部门；对于雇佣关系与劳动权益问题，可能涉及劳动监察部门；对于市场监管与商事登记问题，找市场监管部门；对于交通运输经营行为问题，找交通运输主管部门；而对于民事纠纷，则通常需要通过民事法律途径来解决。