当您发现对方单位多付了货款时，这实际上构成了对方的不当得利，根据法律规定，对方应当将这部分多付的款项返还给您。以下是一些详细且具有深度的处理步骤和建议：

一、及时与对方沟通

1. 取得联系：首先，您需要尽快与对方单位的相关负责人取得联系，明确告知他们多付了货款的情况。
2. 保留沟通记录：在沟通过程中，建议您保留好所有的沟通记录，如邮件、聊天截图、电话录音等。这些记录在后续的协商和解决过程中将起到重要的证据作用。

二、协商解决方式

1. 请求核对款项：您可以请求对方单位核对款项，确认多付的具体金额。
2. 明确退款时间和方式：在确认多付金额后，与对方协商退款的具体时间和方式。您可以要求对方在一定的时间内将多付的款项退回至您的账户，并明确退款的方式（如银行转账、支票等）。
3. 要求书面退款承诺：如果对方同意退款，您可以要求其出具书面的退款承诺。这份承诺应明确退款金额、退款时间、退款方式等关键信息，以保障您的合法权益。

三、法律途径解决

1. 收集证据：如果与对方协商无果，您需要考虑通过法律途径解决。在此之前，您需要收集好相关的付款凭证、沟通记录等证据。
2. 提起诉讼：您可以向法院提起诉讼，要求对方返还多付的款项及可能产生的利息等损失。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据来证明对方多付了货款，并且这部分款项应当返还给您。
3. 遵循法律程序：在整个法律过程中，您需要遵循法律程序，配合法院的调查和审理工作。同时，您也可以考虑聘请专业的律师来代表您进行诉讼，以提高胜诉的几率。

四、保持冷静和理性

在整个处理过程中，无论对方的态度如何，您都需要保持冷静和理性。不要因为情绪激动而做出过激的行为或言论，这可能会对您的不利。相反，您应该通过合法、合规的方式来维护自己的权益。

综上所述，当对方单位多付货款时，您应该及时与对方沟通、协商解决方式，并在必要时通过法律途径来维护自己的权益。希望这些建议能对您有所帮助。