消费者有权要求商家对购买食品所附的过期赠品进行赔偿，赔偿依据及具体内容如下：
一、赔偿依据
法律依据：
- 根据《中华人民共和国食品安全法》第一百四十八条，消费者因不符合食品安全标准的食品受到损害的，可以向经营者要求赔偿损失。此处的“食品”包括正价商品和赠品，只要不符合食品安全标准，消费者均有权索赔。
- 《中华人民共和国消费者权益保护法》也明确规定，经营者向消费者提供商品或者服务，应当保障消费者的合法权益，不得设定不公平、不合理的交易条件。赠品作为经营者促销手段的一部分，其质量与安全同样受到法律保护。
商业道德：
- 商家赠送过期食品的行为违背了基本的商业道德，影响了消费者对商家的信任。从商业伦理的角度，商家也有义务对赠品的质量和安全负责。
二、可主张的赔偿内容
退款或换货：
- 消费者可以要求商家对存在问题的赠品进行更换，或选择退货并退还相应的款项（若赠品与主商品一同销售）。即使赠品是免费的，但因其导致的安全问题，消费者同样有权要求更换符合安全标准的产品或退回相应的主商品。
增加赔偿：
- 若商家明知赠品过期而故意赠送，构成欺诈，消费者可以要求商家支付价款十倍或损失三倍的赔偿金。增加赔偿的金额不足一千元的，按一千元计算。这一条款旨在惩罚商家的不法行为，并保护消费者的合法权益。
其他损失赔偿：
- 若因食用过期赠品导致身体健康受损或其他财产损失，消费者有权要求商家赔偿医疗费、误工费、护理费等合理费用。这些费用是消费者因商家行为而遭受的实际损失，商家应当予以赔偿。
三、维权步骤与建议
收集证据：
- 保留好购买商品的凭证，如发票、收据、购物小票等。这些证据将有助于证明消费者的购买行为以及赠品过期的事实。
- 保存过期赠品的实物、包装等，作为证明购买行为和赠品情况的证据。这些证据在后续维权过程中将起到关键作用。
与商家协商：
- 直接与商家沟通，明确表达自己的诉求和依据的法律法规。在协商过程中，注意保留好聊天记录、通话录音等，以备后续使用。
- 若商家态度积极，愿意承担责任并给出合理的赔偿方案，消费者可以考虑接受并解决问题。
向相关部门投诉：
- 若协商无果，消费者可以向消费者协会（12315）或食品药品监督管理部门投诉举报，请求其介入调解。这些部门将依法对商家的行为进行调查和处理，并保护消费者的合法权益。
提起诉讼：
- 若通过上述途径均无法解决问题，消费者可以向法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。在诉讼过程中，消费者需要提供充分的证据来证明自己的诉求和商家的违法行为。
作为消费者，在面对商家赠送过期食品作为赠品时，应依法维护自身权益。若您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。