结论：劳务派遣老师考上编制后能否离开原岗位，需结合劳动合同约定、派遣协议内容以及法律规定综合判断，具体分以下情况：

1. 若劳动合同或派遣协议明确约定“考上编制可解除合同”

根据《劳动合同法》第三十六条，用人单位与劳动者协商一致可解除劳动合同。若双方在合同中明确约定“劳动者考上编制后，劳动合同自动解除或可单方解除”，则劳动者有权依据约定解除与派遣单位的劳动关系，并办理离职手续。
关键点：需核查合同条款是否明确约定解除条件，且该条款不违反法律强制性规定（如未设置不合理违约金）。

2. 若劳动合同或派遣协议未约定，但劳动者想提前离职

根据《劳动合同法》第三十七条，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可解除劳动合同。因此，即使合同未约定考上编制的解除条件，劳动者仍可通过提前三十日通知的方式解除与派遣单位的劳动关系，并办理离职手续。
关键点：

• 需履行书面通知义务（如邮件、书面函件），保留通知证据；
  
• 若未提前三十日通知，可能需承担因突然离职给用人单位造成的损失（如招聘替代人员的费用），但用人单位需举证损失金额。

3. 若派遣单位拒绝解除合同或设置障碍

若派遣单位以“未满服务期”“违反竞业限制”等理由拒绝解除合同，劳动者需区分情况：

• 服务期条款：若派遣单位曾为劳动者提供专项培训费用并约定服务期，劳动者违反服务期约定需支付违约金（违约金不得超过服务期未履行部分所应分摊的培训费用）；
  
• 竞业限制条款：若劳动者属于高级管理人员、高级技术人员或其他负有保密义务的人员，且派遣单位支付了竞业限制经济补偿，则需遵守竞业限制约定；
  
• 无合法理由阻挠：若派遣单位无合法理由拒绝解除合同，劳动者可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，要求确认劳动关系解除并办理离职手续。

4. 考上编制后的入职衔接问题

即使劳动者与派遣单位解除劳动关系，仍需注意与新编制单位的入职衔接：

• 需确认新单位要求的入职材料（如离职证明、档案转递等）；
  
• 若原派遣单位拖延开具离职证明或转递档案，可依据《劳动合同法》第五十条要求其出具，并可向劳动监察部门投诉。

建议：

1. 核查劳动合同及派遣协议中关于解除合同的约定；
   
2. 提前三十日以书面形式通知派遣单位解除劳动关系；
   
3. 保留通知证据及与派遣单位沟通的记录；
   
4. 若遇纠纷，及时通过劳动仲裁或诉讼维护权益。
   

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