您好，关于您提出的“引渡承诺由哪个部门决定”的问题，根据我国《中华人民共和国引渡法》的相关规定，我来为您详细解答。

在我国，引渡案件的最终决定权归属于国务院。具体来说，当请求国提出引渡请求后，经过司法审查得出符合引渡条件的裁定，这一裁定会及时报送至国务院。国务院会从政治和外交利益的角度出发，权衡该引渡案的引渡对本国是否有利，进而作出是否引渡的决定。

然而，考虑到引渡案件的复杂性和多样性，国务院在必要时可以授权其有关部门来决定引渡事宜。这种授权既可以是个案授权，即针对某一具体的引渡案件进行授权；也可以在某一个阶段进行授权，即授权有关部门在某一时间段内决定是否引渡。例如，国务院可能会将某些引渡案件授权给外交部来决定是否准予引渡。

此外，引渡的执行工作是由公安机关来负责的。一旦国务院决定准予引渡，外交部会及时通知公安部，并与请求国约定移交被请求引渡人的时间、地点、方式以及执行引渡有关的其他事宜。公安机关则会根据人民法院的裁定，向请求国移交与案件有关的财物。

综上所述，引渡承诺的决定权主要归属于国务院，但在必要时，国务院可以授权其有关部门来决定引渡事宜。希望这个解答能够让您对引渡承诺的决定部门有更清晰、更深入的了解。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。