结论前置：
- 家长的行为是否构成故意伤害，需根据具体情节和证据来判断。若家长推倒对方的行为是出于保护未成年子女的本能反应，且没有故意伤害的主观意图，可能不构成故意伤害罪；但若存在故意或过失，且造成了轻伤后果，则可能构成故意伤害罪或过失致人重伤罪（若后果更严重）。
- 对方当着警察面殴打未成年人的行为，可能构成治安违法或刑事犯罪，具体取决于伤害程度。
详细分析：
一、家长推倒对方的行为分析
主观意图：
- 故意伤害罪要求行为人具有故意伤害他人身体的主观意图。若家长推倒对方是出于保护未成年子女的本能反应，且没有故意伤害的主观意图，那么其行为可能不构成故意伤害罪。
- 然而，如果家长在推倒对方时存在故意或过失（如明知推倒可能导致对方受伤，但仍实施该行为），且实际上造成了对方轻伤的后果，那么其行为可能构成故意伤害罪或过失致人重伤罪（若后果更严重）。
行为后果：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑。
- 若家长的行为被认定为故意伤害，且造成了对方轻伤的后果，那么家长可能面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制的处罚。
紧急避险与正当防卫：
- 如果家长的行为符合紧急避险或正当防卫的构成要件，那么其行为可能不构成犯罪。但紧急避险要求避险行为必须是在不得已的情况下实施，且避险行为不能超过必要的限度；正当防卫则要求防卫行为必须针对不法侵害，且防卫行为必须适度。
二、对方当着警察面殴打未成年人的行为分析
治安违法：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条，殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。
- 若对方当着警察面殴打未成年人，且未造成严重后果，那么其行为可能构成治安违法，面临行政处罚。
刑事犯罪：
- 如果对方的行为造成了未成年人轻伤以上的后果，那么其行为可能构成故意伤害罪，面临刑事处罚。
- 此外，如果对方的行为具有其他恶劣情节（如使用凶器、多次殴打等），那么即使未造成轻伤以上的后果，也可能构成其他刑事犯罪。
法律建议：
- 对于家长而言，如果其行为被认定为故意伤害或过失致人重伤，建议尽快咨询专业律师，了解自身的法律权利和义务，以及可能的法律后果。
- 对于对方而言，如果其行为构成治安违法或刑事犯罪，将面临相应的法律处罚。同时，建议对方也尽快咨询专业律师，以了解自身的法律地位和可能的辩护策略。
- 在此类事件中，建议各方保持冷静和理性，通过法律途径解决纠纷，避免采取过激行为导致事态进一步恶化。
后续行动建议：
- 家长应收集相关证据（如现场监控、证人证言等），以证明自己的行为是出于保护未成年子女的本能反应，且没有故意伤害的主观意图。
- 对方也应收集相关证据，以证明自己的行为并未构成故意伤害或过失致人重伤，或者证明自己的行为具有其他合法理由。
- 各方均应积极配合警方的调查工作，如实陈述事实经过，以便警方能够全面、客观地了解事件情况，并作出公正的处理决定。
有问题可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供进一步的法律建议。